Ein bedingter Erwartungswert

In einem landesweiten Test, welcher in der sechsstufigen Notenskala von "sehr gut" (1) bis "ungenügend" (6) bewertet wurde, erwies sich die Lösung der Aufgabe A als besonders schwierig. Nur 30% der Teilnehmer mit der Gesamtnote "sehr gut" und nur 21% der Teilnehmer mit der Gesamtnote "gut" konnten sie lösen. Die Note "sehr gut" hatten 8% aller Teilnehmer des Tests, die Note "gut" 19 % aller Teilnehmer des Tests erreicht.

Wie viel Prozent der Teilnehmer, welche die Note "sehr gut" oder "gut" erreicht haben, konnten die Aufgabe A lösen?

27% aller Teilnehmer haben die Note „sehr gut“ oder „gut“ erreicht.

30 % von 8 % aller Teilnehmer plus 21% von 19% aller Teilnehmer haben A gelöst und zugleich die Gesamtnote „sehr gut“ oder „gut“ erzielt; das sind 0,3•8% + 0,21•19% =6,39% aller Teilnehmer. Nun ist 6,39/27 = 0,2366 . Also konnten 23,66 % derer, welche die Gesamtnote „sehr gut“ oder „gut“ erzielt haben, die Aufgabe A lösen.

Man beachte den Unterschied zwischen dem Prozentsatz aller Teilnehmer, welche die Aufgabe A gelöst und zugleich die Note „sehr gut“ oder „gut“ erreicht haben ( hier 6,39%) und dem Prozentsatz der Teilnehmer mit den Noten „sehr gut“ oder „gut“, welche die Aufgabe A gelöst haben ( hier 23,66%) .

Man kann die Aufgabe auch wie folgt lösen.
Stellen wir uns die 27 ( von hundert ) der Teilnehmer mit den Noten „sehr gut“ oder „gut“ vor. Von diesen haben acht die Trefferquote 30 %, neunzehn die Trefferquote 21 % erzielt.
Gesucht ist das arithmetische Mittel der Trefferquoten:

(30•8 + 21•19)/27 = 639/27 = 23,66 .

23,66% der Teilnehmer mit den Noten „sehr gut“ oder „gut“ haben Aufgabe A gelöst.

Man kann die Aufgabe auch mit Hilfe der Wahrscheinlichkeitsrechnung lösen.
Führen wir dazu die folgenden Abkürzungen ein.
Merkmal A: Teilnehmer hat die Aufgabe A gelöst
Merkmal B: Teilnehmer hat die Note „sehr gut“ oder „gut“ erreicht

Gegeben: p(B) = 0,08 + 0,19 = 0,27. p(A^B) = 0,3•0,08 + 0,21•0,19 = 0,0639

Wahrscheinlichkeit von A, wenn man weiß, dass B vorliegt: p(A|B) = p(A^B)/p(B) = 0,2366

Zweckmäßiger ist es, die gesuchte Zahl als einen bedingten Erwartungswert aufzufassen. Der Ereignisraum Ω besteht aus den Notenstufen: Ω = { 1, 2, ...6}. Das Ereignis B ist die Teilmenge B = { 1, 2 } von Ω. Die Zufallsgröße X ordnet jedem Element von Ω die Trefferquote zur Lösung der Aufgabe zu; hier ist X(1) = 30 und X(2) = 21. Die Wahrscheinlichkeiten sind p(1) = 0,08 , p(2) = 0,19 und p(B) = 0,27 .
Die gesuchte Zahl ist der bedingte Erwartungswert von X unter der Bedingung B:

E(X|B) = (X(1)•p(1) + X(2)•p(2) )/p(B) = ( 30•0,08 + 21•0,19)/0,27 = 23,66