Endziffern von Potenzen

a) Sei x eine einstellige natürliche Zahl, n eine natürliche Zahl. Von der Potenz xn (bzw. den Potenzen, falls es mehrere Lösungen gibt) weiß man, dass sie auf 7 endet und dass sie achtstellig ist. Bestimmen Sie x und n.

b) Bestimmen Sie Vorzeichen und Endziffer der Zahl 7243 - 3328 .


Hinweis: Die vierstelligen Logarithmen zur Basis 10 der Zahlen 3 und 7 sind:
log(3) = 0,4771;  log(7) = 0,8451


a) x kann keine gerade Zahl sein, da in diesem Fall die Endziffer der Potenz xn eine gerade Zahl wäre. Die Potenzen 5n enden alle auf 5, die Potenzen 9n abwechselnd auf 9 und 1.

Die Endziffern der Potenzen 3n durchlaufen den Zyklus 3, 9,7,1,3,..., und die Endziffern der Potenzen 7n durchlaufen den Zyklus 7, 9,3,1,7,... . Es kommen damit als Lösungen in Frage die Potenzen 33 + 4k und 71 + 4k ( k = 1, 2, 3 ,....) . Die Potenz xn ist achtstellig, was zu den Ungleichungen führt: 108> 3n = 10n•log3 ≥ 107 und 108 > 7n = 10n•log7 ≥ 107 .

Aus 8 > n•log3 = n•0,4771 ≥ 7 folgt 16,77 > n ≥ 14,67 . Die beiden natürlichen Zahlen 15 und 16 erfüllen diese Ungleichung. Da n von der Form 3 + 4k sein muss, kommt als Lösung nur n = 15 in Frage.

Die Potenz 315 ist eine Lösung.

Aus 8 > n•log7 = n•0,8451 ≥ 7 folgt 9,37 > n ≥ 8,28. Lösung der Ungleichung ist n = 9. Da n auch von der Form 1 + 4k ist, ist die Potenz 79 achtstellig und hat die Endziffer 7.

Die Potenzen 315 und 79 sind die Lösungen des Aufgabenteils a) .

b) Während man Teil a) noch durch Probieren mit dem Taschenrechner hätte lösen können, kann Teil b) nicht mehr so gelöst werden; die Zahlen sind zu groß.

3328 = 10328•log3 und 7243 = 10243•log7 . Da 328•log3 < 243•log 7 ( 328•log 3 ≈ 156; 243•log7 ≈205) folgt 3328 < 7243 oder 7243 - 3328 > 0 : Das Vorzeichen der Zahl ist positiv.

In Teil a) ist zu finden, dass 3328 auf 1 endet und 7243 auf 3 . Die Zahl 7243 - 3328 endet auf 2.