Im Pfälzerwald

In den Hütten des Pfälzerwaldvereins trinken die Wanderer zur Mittagsrast gerne einen Weinschorle. Das ist ein Gemisch aus Wein und Wasser; ein Glas Weinschorle enthält 500ml dieses Gemisches.

Zum Saisonabschluss plant der Vorstand einer Ortsgruppe des Pfälzerwaldvereins eine Benefizveranstaltung. Er denkt sich folgendes Glücksspiel aus.
Zum Abschlussfest wird ein Taschenrechner wie folgt programmiert. In einem ersten Schritt ermittelt er eine Zufallszahl x zwischen 0 und 500. Dann ermittelt er eine Zufallszahl y zwischen 0 und 500 - x.
Wer an dem Spiel teilnimmt, erhält so zwei Zufallszahlen x und y, die zusammen eine Zahl zwischen 0 und 500 ergeben. Dann mixt ihm der Wirt einen Weinschorle aus x Millilitern Wasser und y Milliliter Wein. Die Pechvögel erhalten nur ein paar Milliliter- sogar ein leeres Glas ist möglich-, manche müssen sich vielleicht mit purem oder doch fast purem Wasser zufrieden geben; die Glücklicheren werden ein - fast- volles Glas erhalten, das ordentlich Wein enthält.
Der Vorstand beschließt, dass der Verein die Kosten trägt und dass die Glücklichen - das sind die, in deren Glas sich mindestens 250 ml Wein befinden - einen Beitrag für ein Benefizprojekt beisteuern. Die besonders Glücklichen (mehr als 350 ml Wein; sie bilden eine Teilmenge der Glücklichen) zahlen den doppelten Beitrag.
Dazu würde der Vorstand gerne wissen, wie groß der Prozentsatz der Glücklichen und der besonders Glücklichen unter allen Teilnehmern wahrscheinlich sein wird. Wie groß sind diese Prozentsätze?

(Vorschlag zur Lösung: Behandeln Sie das Problem geometrisch! Skizzieren Sie in einem x-y-Koordinatensystem die Menge der Punkte, welche die genannten Bedingungen erfüllen).

In einem x-y-Koordinatensystem tragen wir die Menge der Punkte ein, für die gilt:

x≥0, y≥0 und x+y≤ 500

Das Dreieck A mit den Eckpunkten (0|0), (500|0), (0|500) repräsentiert die Menge aller möglichen Glasfüllungen (x|y) , das Dreieck G mit den Eckpunkten (250|250),(0|500),(0|250) die Menge der Glasfüllungen der Glücklichen, das Dreieck BG mit den Eckpunkten (150|350), (0|500), (0|350) die Menge der Glasfüllungen der Besonders Glücklichen.

Die Flächeninhalte verhalten sich – zentrische Streckung mit Streckzentrum (0|500) oder direktes Ausrechnen – wie folgt: G/A = ¼,    BG/A = (150/500)2 = (0,3)2 = 0,09 .

25 Prozent aller Teilnehmer finden mehr als 250 ml Wein in ihrem Glas, 9 Prozent mehr als 350 ml Wein; 16 Prozent haben zwischen 250 ml und 350 ml Wein im Glas.