Zwei Kerzen

Die Anregung zu dieser Aufgabe stammt aus einem Klassiker der mathematischen Didaktik, dem 1913 in St. Peterburg erschienenen Werk "Unterhaltsame Aufgaben und Versuche" von J.I. Perelman, Lizenzausgabe beim Verlag Harri Deutsch,1987.

Zwei gleich lange, aber unterschiedlich dicke Kerzen werden zum Zeitpunkt t = 0 angezündet. Die dünnere wäre nach vier Stunden vollständig abgebrannt, die dickere nach fünf Stunden.
  1. Nach einiger Zeit bläst man beide aus. Der Quotient k aus den Längen ihrer Stummel ist zu diesem Zeitpunkt gleich 4. Wie lange haben sie bis dahin gebrannt?

  2. Nach welcher Zeit t nach dem Anzünden ist der Quotient k gleich 2, gleich 5, gleich 200? Stellen Sie die Funktionsgleichung k(t) auf ( t : Brenndauer in Stunden).

  3. Skizzieren Sie den Funktionsgraphen k(t) für t= 0 bis t = 7. Während der Verlauf bis t = 4 die Werte des Quotienten der Längen der noch vorhandenen Kerzenstummel angibt, bedarf der weitere Verlauf der Kurve k(t) einer Interpretation, denn nach vier Stunden ist die erste Kerze abgebrannt. Versuchen Sie eine Interpretation.

a)  Die Längen zu Beginn setzen wir gleich 1. Dann ist nach der Zeit t, gemessen in Stunden, die Länge des Stummels der dünneren Kerze gleich 1 – t/4, die Länge des Stummels der dickeren Kerze gleich 1 – t/5.

Der Quotient k = ( 1 – t/5)/(1 – t/4) = (20 – 4t ) /( 20 – 5t)

Es gilt im Aufgabenteil a)  k = 4, und damit 4 = (20 – 4t)/(20 – 5t) oder

4*(20 – 5t) = 20 – 4t .

Es folgt 80 – 20t = 20 – 4t oder 60 = 16t.

Damit ist t = 60/16 = 15/4 = 3,75. Die Kerzen haben bis dahin dreidreiviertel Stunden lang gebrannt.


b) Es gilt ( s. Teil a)) k = (20 – 4t)/(20 – 5t) = 0,8* ( 5 – t)/(4 – t) = 0,8*(4 – t + 1)/(4-t)=
0,8* ( 1 + 1/(4 – t) )

Die gesuchte Funktionsgleichung ist k(t) = 0,8* ( 1 + 1/(4 – t) )

Setzt man in a) statt der Zahl 4 die Variable k ein – oder formt man die eben angegebene Funktionsgleichung um – so erhält man

k*(20 – 5t) = 20 – 4t oder (k – 1)*20 = t*(5k – 4) oder t = 20*(k-1)/(5k – 4)

Einsetzen der angegebenen Werte von k ergibt: k = 2 nach 3,33 Stunden, k = 5 nach 3,8 Stunden, k = 200 nach 3,996 Stunden.

c)

k(t) = 0,8*( 1 + 1/(4-t) )

Bei t = 0 ( Kerzen werden angezündet), sind beide Kerzen gleich lang ( k = 1).

Nähert sich die dünnere Kerze dem Ende ihrer Brenndauer, geht ihre Länge also gegen Null, so wächst der Wert des Quotienten k über alle Grenzen, da die dickere Kerze noch eine Stunde von ihrem Ende entfernt ist.

Welche Bedeutung kann man dem weiteren Verlauf der Kurve ( t > 4) beimessen? Was bedeuten negative Werte des Quotienten der Stummellängen? Welche Bedeutung hat die Polstelle mit Vorzeichenwechsel bei t = 4 ?

Stellen wir uns vor, die beiden Kerzen würden sich unter ihrer Unterlage ( unter ihrem Tisch, der den Nullpunkt der Länge markiert) weiter fortsetzen. Die dort fortgesetzten Längen sind negativ zu rechnen. Als Länge des Stummels gilt die Größe des Abstandes zwischen Flamme und Tisch – beim Brennen „unter dem Tisch“ die abgebrannte Strecke, beim Brennen über dem Tisch die Länge des noch vorhandenen Stummels.

Zwischen t = 4 und t = 5 brennt die dünnere Kerze unter dem Tisch weiter– mit zunächst sehr kleinem Betrag der Länge – die dickere noch oberhalb des Tisches. Das Vorzeichen der Länge der dünneren Kerze ist negativ, das der dickeren Kerze noch positiv, der Quotient k ihrer Längen also negativ – mit zunächst sehr großem Betrag. Bei t = 5 erreicht die dickere Kerze den Tisch – Länge Null, Quotient der Längen ebenfalls Null. Dann brennen beide unter dem Tisch weiter, der Quotient k ist positiv.

Nach sehr langer Zeit verhalten sich die abgebrannten Strecken wie 4 : 5 . Das heißt, die Kurve k nähert sich asymptotisch dem Wert 0,8.