Peripheriewinkel- und Sehnensatz

Vor wenigen Jahrzehnten noch hätte man die Aufgabenteile 1) und 2) nicht gestellt, handelt es sich doch dabei um Beweise, die damals zum Lehrplan jedes Gymnasiums, auch der alt-und neusprachlichen Gymnasien, gehörten. Peripheriewinkelsatz und Sehnensatz waren feste, nicht wegzudenkende Gegenstände des Geometrieunterrichts. Inzwischen sind zum Entsetzen aller, denen an einem guten Mathematikunterricht liegt, diese beiden Sätze weitgehend aus dem Unterricht verschwunden. Grund genug, sie wenigstens in den Arbeitsgemeinschaften zu behandeln.

1) Gegeben ist ein Kreis mit Mittelpunkt M und eine Sehne AB in diesem Kreis. Über der Sehne baut man ein Dreieck auf, wobei dessen Spitze auf einem Punkt P der Umfangslinie (Peripherie) liegt. Der Winkel an der Spitze APB heißt Peripheriewinkel, der Winkel AMB Mittelpunktswinkel. Zeige: Alle Peripheriewinkel zu einer gegebenen Sehne sind gleich, und der Mittelpunktswinkel ist doppelt so groß wie der Peripheriewinkel ( Peripheriewinkelsatz).

2) Gegeben ist ein Kreis mit Mittelpunkt M. Gegeben sind ferner zwei Sehnen AB und CD in diesem Kreis, die sich im Punkt S schneiden. Zeigen Sie: Die Produkte aus den Sehnenabschnitten sind gleich: |AS|•|SB| = |CS|•|SD| ( Sehnensatz).

3) Gegeben sei ein rechtwinkliges Dreieck ABC; Scheitelpunkt des rechten Winkels sei C. Die Höhe h vom Punkt C aus auf die Hypotenuse teilt diese in zwei Abschnitte p und q.

a)Zeigen Sie: h2 = pq (oder: h ist das geometrische Mittel aus p und q)

b)Zeigen Sie: a•b = c•h

c)Zeigen Sie: 2h2 ist das harmonische Mittel aus den Kathetenquadraten a2 und b2

d) Zeigen Sie: Das arithmetische Mittel ist größer oder gleich dem geometrischen; dieses ist größer oder gleich dem harmonischen. Wann gilt jeweils Gleichheit?

Hinweise: Um c) zu beweisen, benötigt man den Satz des Pythagoras: a2 + b2 = c2

Unter dem arithmetischen Mittel zweier positiven Zahlen a und b versteht man (a + b)/2, unter ihrem geometrischen Mittel die Quadratwurzel aus ihrem Produkt und unter ihrem harmonischen Mittel die Zahl m mit folgender Eigenschaft:

2/m = 1/a + 1/b

Beispiel: Das arithmetische Mittel der Zahlen 2 und 3 ist 2,5; ihr geometrisches Mittel ist die Quadratwurzel aus 6 ( etwa gleich 2,45; jedenfalls kleiner als 2,5 und größer als 2,4 ); ihr harmonisches Mittel ist gleich 12/5 = 2,4 .


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