Heureka I

König Hieron von Syracus gibt einem Goldschmied den Auftrag, aus Silber und Gold eine Krone herzustellen. Die Massendichte von Gold beträgt 20Gramm/cm3, die von Silber 10Gramm/cm3 .

a) Wie viele cm3 Gold, wie viele cm3 Silber enthält die Krone, wenn sie 900 Gramm wiegt und wenn ihr Volumen 55 cm3 beträgt?

b) Beim nächsten Auftrag stellt Hieron folgende Bedingungen. Die Krone darf höchstens 700 Gramm wiegen, und ihr Volumen darf höchstens 50cm3 betragen. Kennzeichnen Sie in einem x-y-Koordinatensystem die Menge der Punkte, welche diese Bedingungen erfüllen ( x: Goldvolumen in cm3, y: Silbervolumen in cm3)

Nachdem der Goldschmied seinen Werkvertrag mit Hieron geschlossen hat und auch mit seinen Lieferanten handelseinig geworden ist, stellt er fest: Pro Gramm verarbeiteten Goldes erzielt er einen Gewinn von fünfzehn Währungseinheiten, pro Gramm verarbeiteten Silbers einen Gewinn von zwanzig Währungseinheiten. Wie groß kann sein Gewinn unter den gegebenen Bedingungen höchstens sein?


a) Wir bezeichnen mit x das Goldvolumen gemessen in cm3, mit y das Silbervolumen gemessen in cm3.

Dann gilt: x + y = 55 und 20x + 10y = 900. Einsetzen von y = 55 – x in die zweite Gleichung ergibt: 20x + 10•(55 – x) = 900 und damit 10x = 350 oder x = 35.

Die Krone enthält 35 cm3 ( oder 700 Gramm) Gold und 20 cm3 (oder 200 Gramm) Silber.

b) 20x + 10y ≤ 700 bzw . y ≤ -2x + 70 ( I )und x + y ≤ 50 bzw. y ≤ - x + 50 ( II )

Die beiden Geraden g : y = -2x +70 und h: y = - x + 50 schneiden sich im Punkt P (20|30).

Der Gewinn G errechnet sich wie folgt: 20x•15 + 10y•20 = G oder y = - 1,5•x + G/200

Diese „Gewinngerade“ v verläuft flacher als g, aber steiler als h. Die von den Koordinatenachsen und den Abschnitten der Geraden g und h im ersten Quadranten eingeschlossenen Punkte sowie die auf diesen begrenzenden Strecken selbst liegenden Punkte sind genau die, welche die Bedingung (I) und zugleich die Bedingung (II) erfüllen.

G/200 und damit G ist am größten, wenn die Gewinngerade v durch den Punkt (20|30) verläuft. Der Gewinn ist in diesem Fall gleich 20•20•15 + 10•30•20 = 12000 .

Der maximal erzielbare Gewinn beträgt 12000 Währungseinheiten (G/200 = 60).