Heureka II

Stellen wir uns vor, wir befänden uns an einem europäischen Fürstenhof im achtzehnten Jahrhundert. Der Fürst ist ein Freund mathematischer Rätsel. Ein Lieferant des Hofes hat Gold- und Silberdraht im Angebot; ein Zentimeter Golddraht kostet 10 Taler, ein Zentimeter Silberdraht kostet 5 Taler. Zum Hofstaat gehören zwei Goldschmiede, Michel und Albrecht, denen der Fürst folgendes Problem vorlegt.
Jeder der beiden erhält 400 Taler, für die er Gold- und Silberdraht kaufen kann. Die beiden Drahtstücke sind sodann zu Quadraten zu biegen. Die Aufgabe besteht darin, die Länge der Drahtstücke so zu wählen, dass die Summe S der Flächeninhalte der beiden Quadrate möglichst klein wird. Auf Nachfrage bestätigt der Fürst, dass es auch erlaubt wäre, nur Gold- bzw. Silberdraht zu kaufen und das daraus gefertigte eine Quadrat vorzulegen.

a) Daraufhin meint Michel, das Problem sogleich gelöst zu haben. Er kauft mit seinem gesamten Geld Golddraht und biegt diesen zu einem Quadrat. Welchen Inhalt hat dieses?

b) Der Hofastronom, der die gerade von Leibniz und Newton entwickelte Differentialrechnung schon kennt, sieht in dem Problem eine Extremwertaufgabe und löst das Problem rechnerisch. Wie macht er das?

c) Albrecht kennt zwar diese Methode noch nicht, geht aber bedächtiger vor als Michel. Er zeichnet ein x-y-Koordinatensystem, wobei die x-Koordinate die Länge des Silberdrahtes bedeutet ( 10 cm Draht entsprechen 1cm auf der Achse) und die y-Koordinate die Länge des Golddrahtes ( gleicher Maßstab).
Wo liegen alle Punkte (x|y) der Silberdrahtlängen x und der Golddrahtlängen y, die er für 400 Taler kaufen kann?
Wo liegen alle Punkte, die zu einer gegebenen Gesamtfläche S gehören ( Beispiel: S=25cm2)?
Nach diesen Überlegungen löst er das Problem zeichnerisch.

d) Der Sohn des Albrecht hat in der Schule gerade das Lösen quadratischer Gleichungen kennen gelernt. Auch er löst das Problem rechnerisch. Wie macht er das?


a) Michel kauft 40 cm Golddraht. Das daraus gebogene Quadrat hat den Inhalt 100cm2.

b) (x/4)2 + (y/4)2 = S(x,y) → x2 + y2 = 16•S(x,y) = : s(x,y)

Die Bedingung 5x + 10y = 400 ergibt x = -2y + 80 und damit:

s(y) = ( - 2y + 80)2 + y2 . Ableiten nach y und Nullsetzen der ersten Ableitung :

s’(y) = -4•( - 2y + 80) + 2y = 0 → 10y = 320 und y = 32 . s’’ = 10 > 0. x = -64 +80 = 16

s und damit S wird minimal, wenn der Golddraht 32cm lang und der Silberdraht 16 cm lang ist. S hat dann den Wert (82 + 42)cm2 = 80cm2

c) Die Bedingung 5x + 10y = 400 ist äquivalent zu x/80 + y/40 = 1 : Die Punkte (x|y) liegen auf einer Geraden g , welche den x-Achsenabschnitt 80 und den y-Achsenabschnitt 40 hat.

Die Punkte, für die gilt (x/4)2 + (y/4)2 = S oder x2 + y2 = 16S liegen auf einem Kreis um den Ursprung mit Radius 4S0,5 . Im angegebenen Beispiel hat dieser Kreis den Radius 20 und hat keinen Punkt mit der Geraden g gemeinsam ( S ist noch zu klein). Bei wachsendem S tangiert schließlich g den Kreis; bei weiter wachsendem S gäbe es erst zwei, dann wieder einen, schließlich gar keinen Schnittpunkt mehr. Die Koordinaten des Berührpunktes sind (16|32). (Man kann natürlich nicht genau ablesen). Ergebnis: Das Drahtstück aus Silber muss 16cm, das aus Gold 32 cm lang sein; dann hat S seinen minimalen Wert, und zwar S = (42 + 82)cm2 = 80 cm2

Größeres S – größerer Radius – führen zunächst zu zwei Schnittpunkten ( zwei möglichen Lösungen) mit der Geraden; bei x= 80cm – es wird nur Silberdraht verwendet – erreicht man schließlich die problemgegebene Grenze für S; aus 80 cm Silberdraht ließe sich ein Quadrat mit dem Inhalt 400cm2 biegen.

d) Wie in Teil c) geht man aus von der Gleichung x2 + y2 = 16S und setzt x = 80 – 2y ein:

( -2y + 80 )2 + y2 = 16S

Ausrechnen des Quadrates, Lösen der quadratischen Gleichung:

y = 32 + ( 16S/5 – 256)0,5 oder y = 32 – (16S/5 – 256)0,5 (*)

 

Bei zu kleinem S ist die Diskriminante negativ; bei S = 5•256/16 = 80 erreicht sie den Wert Null; das ergibt den kleinsten Wert, den S haben kann: S = 80cm2.

Die zugehörigen Drahtlängen sind y = 32cm und x = 16 cm.

Eine Rückblende zum Teil a) . Michel hatte für sein ganzes Geld Golddraht gekauft ( 40cm) und daraus ein Quadrat des Inhalts 100cm2 geformt. Das stimmt mit der ersten Lösung in (*) überein. Allerdings liefert (*) zu S = 100cm2 noch eine zweite Lösung: y = 24 und

x = 80-48 = 32. Michel hätte also auch 24 cm Golddraht und 32 cm Silberdraht kaufen können, und die beiden daraus geformten Quadrate hätten zusammen ebenfalls einen Inhalt von 100cm2 gehabt. Hätte die Aufgabe aber gefordert, ein Maximum statt eines Minimums an Quadratinhalten zu liefern, so wäre die Michelsche Lösung, das gesamte Geld in einen Draht – jetzt den Silberdraht – zu stecken und daraus ein Quadrat zu formen, richtig gewesen.

Sollte der Sohn des Albrecht schon ein wenig mit komplexen Zahlen vertraut gewesen sein, so hätte er die beiden Äste seiner Lösung (*) wie folgt darstellen können. Start ist mit S=0 bei y = 32 + i•16 und bei y = 32 - i•16. Die Pfeile weisen in Richtung eines wachsenden S.

Mit S = 80 wird y erstmals rein reell; von da ab verzweigen die Lösungen zu den von der Situation gegebenen Grenzen y = 0 ( nur Silberdraht) und y = 40 ( nur Golddraht).