Heureka III

Stellen wir uns die gleiche Lage vor, wie sie in Aufgabe "Heureka II" gegeben ist. Dieses Mal stellt der Fürst eine Frage, die schon in der Antike beantwortet worden ist. Gegeben ist eine Schnur, die 36 cm lang ist. Sie soll so zu einem Rechteck gelegt werden, dass der Inhalt des Rechtecks maximal ist.
Der Fürst kennt die Lösung: Die Schnur muss zu einem Quadrat gelegt werden; dessen Seite wäre im gegebenen Fall 9cm lang. Der Fürst will wissen, wie seine Leute ihm dies beweisen.

a) Der Hofastronom kennt sich in Differentialrechnung aus. Er fasst das Problem als eine Extremwertaufgabe mit einer Nebenbedingung auf. Wie löst er es?

b) Der Goldschmied Albrecht zeichnet ein x-y-Koordinatensystem. Die Achsen repräsentieren die beiden Rechteckseiten x und y ( 10 cm Länge gleich 2cm in der Zeichnung). Zuerst trägt er einige Punkte ein, die der vorgegebenen Bedingung x+y= U/2 = 36/2 = 18 entsprechen. Wo liegen alle diese Punkte?
Er überzeugt sich durch eine Rechnung davon, dass unter dieser Bedingung das Produkt xoy im Fall x = y = 9cm maximal ist. Er kommt ohne Differentialrechnung aus; das Ausmultiplizieren von Summentermen genügt. Wie könnte er vorgegangen sein?
Dann überzeugt er sich auch anhand seiner Zeichnung von der Richtigkeit dieses Ergebnisses.

c) Der Sohn des Albrecht kann quadratische Gleichungen lösen. Wie beantwortet er die Frage?


a) x•y = A(x,y) und x+y = 18

Daraus folgt A (x) = x•(18 – x) = 18x – x2. Ableitungen : A’=18-2x; A’’= -2 <0

Aus A’ = 0 folgt x= 9 und wegen A’’<0 muss es sich um ein Maximum handeln.

b) Die Punkte, welche die Bedingung x + y = U/2 = 18 erfüllen, liegen auf dem im ersten Quadranten befindlichen Abschnitt der Geraden mit dem x-Achsenabschnitt 18 und dem y- Achsenabschnitt 18. Ist B(x|y) ein Punkt dieser Geraden, so hat das Rechteck mit den Eckpunkten (0|0), (x|0), (x|y),(0|y) den Umfang 2x+2y=36 und den Inhalt x•y .

Man kann die Bedingung, welche die Seitenlängen x und y erfüllen müssen, auch so formulieren: Es sind die Punkte der Form (9 + δ | 9 – δ) , mit –9 ≤ δ ≤ 9 . Der Punkt (9|9) repräsentiert das Quadrat, und wegen (9+ δ)(9- δ) = 92 – δ2 ≤ 92 hat das Quadrat unter den Rechtecken mit gleichem Umfang den größten Inhalt. Siehe dazu auch folgende Skizze.

B(x|y) ist ein beliebiger Punkt der “Bedingungsgeraden” x + y = 18 . Die Basiswinkel des rechtwinkeligen Dreiecks EFB sind einander gleich; das Dreieck ist also gleichschenklig, und die Strecken EB und EF sind gleich lang . Die Rechtecke DFCA und GHFE haben die gleichen Seitenlängen ( 9 und δ), sind also inhaltsgleich; der Inhalt des Rechtecks DEBA ist somit um δ2 kleiner als der des Rechtecks GHFE. Das Quadrat OHFD hat also einen Inhalt, der um δ2 größer ist als der Inhalt des Rechtecks OGBA.

c) x • (18 – x) = A

18x – x2 = A und damit x2 – 18x = - A. Quadratische Ergänzung, Auflösen nach x:

x = 9 + ( 81 – A)0,5 oder x = 9 – (81 – A)0,5 . A kann höchstens gleich 81 werden; dann ist die Diskriminante gleich Null: x = 9 und y = 9.

Der Junge hat schon etwas über komplexe Zahlen erfahren – im achtzehnten Jahrhundert lebt Leonhard Euler – und so überlegt er sich die folgende Darstellung.

Die Pfeile zeigen in Richtung wachsendes A. Startpunkte ( A = 0 ) sind die beiden Extremfälle x = 0 und x = 18 ( Die Schleife ist dabei zu einem „Strich“ ausgezogen).

x bleibt bei wachsendem A zunächst rein reell, bis x = 9 ( bei A = 81) erreicht ist. Danach wird der Imaginärteil von Null verschieden .

Diese Darstellung seines Sohnes bringt Albrecht ins Träumen, und er nimmt sich nochmals seine Zeichnung vor. Er möchte neben der „Bedingungsgeraden“ x + y = 18 weitere Kurven eintragen, auf der alle Punkte liegen müssen, welche als Lösungen in Frage kommen: Die Punkte (x|y), welche der Gleichung A = x•y genügen. Diese liegen auf einer Hyperbel, die symmetrisch zur ersten Winkelhalbierenden ist; sie schneidet die erste Winkelhalbierende im Punkt (A0,5|A0,5). Albrecht wählt den Wert: A = 144.

Offenbar ist in diesem Fall A noch zu groß: Es gibt keinen gemeinsamen Punkt mit der Geraden, die alle möglichen Lösungen ( x|y) enthält. Mit kleiner werdendem A gleitet der Punkt ( A0,5 | A 0,5 ) auf den Punkt ( 9| 9 ) zu, um ihn mit A = 81 zu erreichen. Wählt man A noch kleiner, so schneidet die Hyperbel diese Gerade in zwei Punkten. In den beiden Extremfällen, in denen man das Rechteck zu einer Strecke auszieht ( x = 0 oder y = 0 ) ist auch A = 0: In diese Fällen geht die Hyperbel in die Koordinatenachsen über ( freilich nur in die Achsenabschnitte vom Ursprung bis zum Punkt (18|0) bzw . zum Punkt (0|18) ).

Albrecht ist, wie er jetzt sieht und wie er gerne von seinem Sohn lernt, den Weg von den beiden imaginären Lösungen – darunter konnte er sich bisher nichts vorstellen, und seine Zeichnung gibt diese nicht her - zur einen, reellen Lösung gegangen, die zugleich die mit maximalem A ist, um dann den Weg zu zwei reellen Lösungen bis zu den Extremfällen A = 0 weiter zu gehen.

Die Gerade y = -x + 18 steht senkrecht auf der 1. Winkelhalbierenden im Punkt ( 9 | 9). Dort berührt sie die Hyperbel y = 81/x