Ein wenig Magie

Ein magisches Quadrat aus neun Feldern ist ein Raster aus drei Zeilen und 3 Spalten, in dem die Zahlen 1 bis 9 so verteilt sind, dass die Summe aus den drei Feldern jeder Zeile, jeder Spalte und den beiden Diagonalen gleich sind. Ein Beispiel:

8 3 4

1 5 9

6 7 2

a) Gegeben seien die Zahlenpaare (x|y) mit x, y ∈ { 0, 1, 2 }

Wie viele dieser Zahlenpaare gibt es? Schreiben Sie diese in beliebiger Reihenfolge auf.

b) In der Menge dieser Zahlenpaare führen wir die übliche algebraische Addition ein:

(a|b) + (c|d) = (a+c|b+d) . Orden Sie die Zahlenpaare aus a) gemäß dieser Addition in einem magischen Quadrat an
( die Addition in jeder Zeile, Spalte und in den beiden Diagonalen ergibt (3|3) ).

Bevor Sie beim Probieren ungeduldig werden, hier ein Tipp zur Lösung. Gehen Sie in zwei Schritten vor. Ziehen Sie erst von jeder Zahl im oben gegebenen Beispiel die Zahl 1 ab; es ergibt sich ein magisches Quadrat mit den Zahlen von 0 bis 8 und mit der Reihensumme 12. Schreiben Sie dann diese Zahlen im Dreiersystem auf ( es steht dann an der Stelle einer 4 das Paar 11, an der Stelle einer 7 das Paar 21 u.s.w.)

c) Ersetzen Sie in jedem Feld des magischen Quadrates aus b) das Zahlenpaar (x|y) durch das Produkt 2x3y . Welche Eigenschaft hat das so entstehende Quadrat?


a) Es gibt 3•3 = 9 solcher Paare: (0|0), (0|1), (0|2) ; (1|0), (1|1), (1|2) ; (2|0), (2|1) , (2|2)

b) Wenn Sie meinem Tipp gefolgt sind, ergibt sich folgendes Quadrat:

(2|1) (0|2) (1|0)

(0|0) (1|1) (2|2)

(1|2) (2|0) (0|1)

c) Es entsteht ein Multiplikationsquadrat, in dem das Produkt aus den drei Zahlen jeder Zeile , jeder Spalte und der beiden Diagonalen gleich 2333 = 216 ist. Im hier gegebenen Beispiel:

12 9 2

1 6 36

18 4 3

Ein Multiplikationsquadrat lässt sich sogleich aus jedem magischen Quadrat konstruieren, indem man dessen Felder als Exponenten zu einer festen Basis, z.B. zu 2, nimmt. Gemäß dem Potenzgesetz 2n2m = 2n+m überträgt sich die „Magie“ des Additionsquadrats auf das Multiplikationsquadrat. Allerdings sind die Reihenprodukte in einem so konstruierten Quadrat recht groß ( im Beispiel mit der Basis 2 und dem oben gegebenen magischen Quadrat gleich 215 ). Das hier gegebene Multiplikationsquadrat ist das mit dem kleinst möglichen Reihenprodukt: Die neun verschiedenen Zahlen entstehen aus den kleinst möglichen Primfaktoren mit den kleinst möglichen Exponenten 0,1,2 .