Beim Räumungsverkauf

Am letzten Tag eines Räumungsverkaufes sind nur noch zwei Artikel übrig. Vom Artikel A sind noch m Stück vorhanden; beim Verkauf erzielt jedes dieser Stücke einen Gewinn von 11€. Vom Artikel B sind noch n Stück übrig; jedes dieser Stücke bringt beim Verkauf einen Verlust von 8€. Am Ende des Tages ist alles verkauft, und es ergibt sich ein Gewinn von 1€.

a) Wie groß können die Stückzahlen m und n gewesen sein?

b) Der Gewinn des letzten Tages betrage 15€. Wie viele Stücke vom Artikel A, wie viele Stücke vom Artikel B wurden mindestens verkauft?

c) Angenommen, der Gewinn pro verkauftem Stück des Artikels A würde 12€ betragen, der Verlust pro verkauftem Stück des Artikels B würde nach wie vor 8€ betragen. Falls dann ein Gewinn erzielt wird: Was ist der kleinste Wert, den er annehmen kann? Wie viele Stücke von A , wie viele Stücke von B müssen mindestens verkauft werden, damit er diesen Wert annimmt?

a) m•11 - n•8 = 1 Probieren: Erstmals mit m=3 und n=4 ist die Gleichung lösbar.

Weiterhin: ( m+x)•11 – (n+y)•8 = 1 oder m•11 - n•8 + x•11 - y•8 = 1 , woraus sich ergibt:

x•11 = y•8 Da 11 und 8 teilerfremd sind, folgt x = r•8 und y = r•11 ( r ist eine natürliche Zahl oder Null)

Mögliche Stückzahlen von A: m = 3 + r•8 , von B: n = 4 + r•11 ( r ist eine natürliche Zahl oder Null)


b) Mit dem Ergebnis m=3 und n=4 ( aus a)) erhält man: Stückzahlen zu A: 15•3=45, Stückzahlen zu B: n = 15•4 = 60


c) m•12 - n•8 = p ( p ist der Gewinn)

p muss durch den ggT von 12 und 8 teilbar sein: p = k• 4 ( k ist eine natürliche Zahl). Es folgt:

m•3 - n•2 = k. Mit k=1 ergibt sich der kleinste mögliche Wert des Gewinnes: p = 4€.

Die Stückzahlen m, n ergeben sich als Lösung der Gleichung m•3 - n•2 = 1. Probieren:

Erstmals mit m = 3, n= 4 ist die Gleichung lösbar. Geht man wie in Teil a) weiter vor, so erhält man die allgemeinen Lösungen: m = 3 + r•2, n = 4 + r•3 ( r ist eine natürliche Zahl oder Null).

Vom Artikel A werden mindestens 3, vom Artikel B mindestens 4 Stück verkauft.