Glücksrad 2

Ein Glücksrad besteht aus fünf gleich großen Sektoren, welche mit den Ziffern 1,5,3,6,9 beschriftet sind.

1. Das Glücksrad wird dreimal nacheinander gedreht, und die angezeigte Ziffer wird notiert.
Es entstehen Zahlen zwischen 111 und 999.

   1.1. Wie viele Zahlen kann das Glücksrad produzieren?

   1.2. Wie groß sind die Wahrscheinlichkeiten, dass die angezeigte Zahl durch 2, durch 5, durch 4 teilbar ist?

   1.3. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die angezeigte Zahl durch 3 teilbar ist?

2. Das Glücksrad wird durch einen Generator ersetzt, der die Ziffern 1,5,3,6,9 zufällig erzeugt und zu einer Zahl aneinander reiht. Die Anzahl n der Ziffern betrage viele Tausend. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die so erzeugte Riesenzahl durch 3 teilbar ist?

Es kann 53 = 125 Zahlen produzieren

Gerade ist die Zahl, wenn die Endziffer 6 beträgt, durch 5 teilbar, wenn die Endziffer 5 beträgt; die Wahrscheinlichkeiten sind beide gleich 1/5.

Teilbarkeit durch 4 ist gegeben, wenn die beiden Endziffern 36 sind – mögliche führende Ziffern sind dann 1 oder 5 oder 9 – oder wenn die Endziffern 96 sind – mögliche führende Ziffern sind dann 1 oder 5 oder 3. Die gesuchte Wahrscheinlichkeit ist gleich 6/125 = 0,048

1.3.

Eine Zahl ist genau dann durch 3 teilbar, wenn ihre Quersumme durch 3 teilbar ist, wenn also ihr Dreierrest gleich Null ist. Da im folgenden stets von Resten bei Division mit 3 gemeint ist, sagen wir kurz „Reste“ statt „Dreierreste“ . Um eine Summe daraufhin zu prüfen, ob ihr Rest gleich 0 ist, muss man die Summanden nicht tatsächlich aufaddieren. Es genügt, die Reste der Summanden zu addieren. Denn der Rest der Summe ist gleich dem Rest derjenigen Summe, die sich ergibt, wenn man die Reste der Summanden addiert. Beispielsweise hat 5+7+9+8+18+99 = 146 denselben Rest wie 2 + 1 + 0 + 2 + 0 + 0 = 5, also den Rest 2. Einfach ausgedrückt: Bei der Bildung der Summe kann man die „vollen Dreier“ unterschlagen.

Kehren wir zum Glücksrad zurück. Die fünf gleich großen Sektoren, die mit 1, 5, 3, 6, 9 beschriftet sind, denken wir uns durch ein „Resterad“ ersetzt, das nur noch drei Sektoren enthält, die mit 0, 1, 2, beschriftet sind, die allerdings verschiedene Größe haben. Der Sektor mit der 0 umfasst 3/5, die Sektoren mit der 1 und der 2 jeweils 1/5 des Glücksrads. Man dreht dreimal; der Rest 0 ergibt sich in den folgenden vier Fällen:

0,0,0 mit p = (3/5)3 = 27/125

0,1,2 ( und Permutationen) mit p = 3!•3/5•(1/5)•(1/5) = 18/125

1,1,1 mit p = 1/125

2,2,2 mit p = 1/125

Die gesuchte Wahrscheinlichkeit beträgt (27+18+1+1)/125 = 47/125 = 0,376

2.

Würde der Generator die Zufallszahl aus den zehn Ziffern erstellen, so läge die Antwort auf der Hand: Jede dritte Zahl ist durch 3 teilbar, die gesuchte Wahrscheinlichkeit wäre gleich 1/3. Aber ist das auch hier so, wo die Zahl nur aus den angegebenen fünf Ziffern erzeugt wird? Wir werden sehen, dass das tatsächlich der Fall ist.

Der Generator habe eine Zahl mit n Stellen erzeugt, deren Ziffern zufällig aus 1,5,3,6,9 ausgewählt sind; n soll riesenhaft groß sein. Mit welcher Wahrscheinlichkeit hat ihre Quersumme den Dreierrest 0 ? ( Wiederum sagen wir von nun an statt „Dreierrest“ nur „Rest“).

Wir denken uns die Ziffern durch deren Reste ersetzt. Es entsteht eine Zahl, die aus den Ziffern 0,1,2, besteht, wobei wir erwarten, dass die 0 dreimal so häufig auftritt wie die 1 oder die 2.

Im Mittel kommen die 1 und die 2, die beide binomial mit der Wahrscheinlichkeit p = 1/5 verteilt sind, jeweils an n•p = n/5 Stellen der Riesenzahl vor. Diese Anzahlen streuen stark: Ihre Varianz ist gleich .n•p•(1-p) = 4n/25, und deren Quadratwurzel, ein Maß für die Streuung, mag einige Hunderte groß sein, wenn n in die zig-Tausende geht.

Wir fassen die Ziffern 1 und 2 paarweise zusammen: 1+ 2 ≡0. Schließlich stehen lauter Nullen und entweder noch lauter Einsen – wenn die 1 in der Überzahl war- oder lauter Zweien in der Reihe. Angenommen, es wären lauter Einsen.

Wir addieren 1, 1+1 = 2, 1+1+1 = 3 und bilden den Rest: Der ist gleich 0 . Und so geht es wieder von vorn los. 1, 1+1 ≡ 2, 1+1+1 ≡ 0, 1+1+1+1 ≡ 1, u.s.w. ( Das Symbol ≡ bedeutet „hat den gleichen Rest wie“). In der Fachsprache: Die additive Restklasse modulo 3 ist zyklisch; sie wird von der 1 und der 2 erzeugt. Denn 2, 2+2 ≡ 1, 2+2+2≡1+2≡0 . Und daher wäre die Lage ebenso, wenn statt der Einsen lauter Zweien übrig geblieben wären.

Der Rest der Summe aus den übrig gebliebenen Ziffern 1 (oder 2 ) wird gleich 0 oder 1 oder 2 sein. Aufgrund der erwähnten Streuung besteht keine Chance, die Anzahl der Ziffern auf + 3 einzugrenzen, und so können wir nur sagen, dass mit der gleichen Wahrscheinlichkeit 1/3 die Summe den Rest 0 oder 1 oder 2 hat.

Ergebnis: Die Wahrscheinlichkeit, dass die Quersumme den Rest 0 hat, ist gleich 1/3. Es besteht die Wahrscheinlichkeit 1/3, dass die vom Generator gelieferte Zahl durch 3 teilbar ist.