Rahmen und Ringe

a) In ein Quadrat mit der Seitenlänge 5cm wird ein zweites mit der Seitenlänge 3cm so hineingelegt, dass die Seitenmittelpunkte - Schnittpunkte der Diagonalen - übereinander liegen. Es entsteht ein Rahmen, der von den Seiten der beiden Quadrate begrenzt wird. Dessen Inhalt auszurechnen, bereitet keine Schwierigkeiten: (52 - 32)cm2 = 16cm2; ein Quadrat mit der Seitenlänge 4cm hat den gleichen Flächeninhalt wie der Rahmen. Es geht aber hier darum, diese Seitenlänge zu konstruieren, oder, wie es so schön heißt, mit Zirkel und Lineal zu finden. Führen Sie diese Konstruktion durch.

b) In ein gleichseitiges Dreieck mit der Seitenlänge 5cm wird ein zweites mit der Seitenlänge 3 cm so hineingelegt, dass die Schwerpunkte übereinanderliegen. Die Seiten der Dreiecke liegen dann parallel, und es entsteht ein Rahmen, der von den Seiten der beiden Dreiecke begrenzt wird. Konstruieren Sie ein gleichseitiges Dreieck, dessen Flächeninhalt gleich dem des Rahmens ist.

c) Man zeichnet zwei konzentrische Kreise. Der Radius des Außenkreises beträgt 5cm, der des Innenkreises 3cm. Es entsteht ein Kreisring. Konstruieren Sie einen Kreis, dessen Flächeninhalt gleich dem des Ringes ist.

a) Man fasst die Seitenlänge c = 5cm als Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks auf, die Seite b = 3cm als eine der beiden Katheten. Das Quadrat über der zweiten Kathete a hat nach dem Satz des Pythagoras den gleichen Inhalt wie der Rahmen: a2 = c2 – b2 .

Per Konstruktion zu finden ist die Kathete a eines rechtwinkligen Dreiecks mit der Hypotenuse c = 5cm und der Kathete b= 3cm. Dazu trägt man die Seite c mit den Eckpunkten A und B auf. Der Kreis um A mit Radius b schneidet den Halbkreis über AB im Punkt C. Die Strecke CB ist gleich der gesuchten Kathete a ( Im gegebenen Fall ist a= 4cm).

b) Der Flächeninhalt eines gleichseitigen Dreiecks mit der Seitenlänge a ist gleich

1/2•a•c•sin(β) = 1/2•a2 • sin(60°) = (30,5/4) • a2 = : k•a2

Der Satz des Pythagoras c2 = a2 + b2 ist gleichbedeutend mit k•c2 = k•a2 + k•b2 ( *).

Das heißt: Errichtet man über den drei Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks gleichseitige Dreiecke, so ist die Summe der Flächeninhalte der über den beiden Katheten errichteten

Dreiecke gleich dem Flächeninhalt des Dreiecks über der Hypotenuse.

Die Konstruktion wird ebenso durchgeführt wie im Fall a); das gesuchte gleichseitige Dreieck hat die Seitenlänge 4 cm.

c) Setzt man in der Gleichung (*) k = π/8 , so sieht man: Errichtet man über den drei Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks drei Halbkreise mit den Dreiecksseiten als Durchmesser, so ist die Summe der Flächeninhalte der Halbkreise über den Katheten gleich dem Flächeninhalt des Halbkreises über der Hypotenuse.

Die Konstruktion wird in gleicher Weise durchgeführt wie in den beiden vorangehenden Aufgabenteilen.

Man konstruiert ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse c= 10cm und der Kathete b = 6cm. Die zweite Kathete a ( im gegebenen Fall ist sie 8cm lang) ist der Durchmesser des gesuchten Kreises.