Glücksrad 1

Ein Glücksrad besteht aus vier gleich großen Sektoren, die mit den Ziffern 0, 1, 2, 3 beschriftet sind. Das Rad wird dreimal nacheinander gedreht, und man notiert die drei vom Rad gelieferten Ziffern. Es entstehen so Zahlen zwischen 0 ( bei der Anzeige 000) und 333, die freilich nicht aufeinanderfolgen, sondern zwischen denen große Lücken liegen können.

a) Wieviele Zahlen können so entstehen?
b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die so entstandene Zahl durch 2, durch 5, durch 4 teilbar ist?
c) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die so entstandene Zahl durch 3 teilbar ist?

a) Es entstehen 43 = 64 Zahlen

b) Gerade ist die Zahl bei Endziffer 0 oder 2; das ist in der Hälfte der Fälle so; die Wahrscheinlichkeit ist gleich ½. Durch 5 teilbar ist die Zahl, wenn die Endziffer 0 ist; die Wahrscheinlichkeit dazu ist gleich ¼.

Durch 4 kann man die Zahl teilen, wenn die Zahl, welche aus ihren letzten beiden Ziffern gebildet wird, durch 4 teilbar ist. Dazu gibt es hier die folgenden Möglichkeiten:

00 ( mit den führenden Ziffern 1,2,3 also 3 Zahlen), 12 ( mit den führenden Ziffern 0,1,2,3 vier Zahlen), 20 ( mit den führenden Ziffern 0,1,2,3 vier Zahlen), 32 ( mit den führenden Ziffern 0,1,2,3 vier Zahlen). Das sind zusammen 15 Zahlen; die Wahrscheinlichkeit beträgt

15/64 = 0,234375

c) Eine Zahl ist genau dann durch 3 teilbar, wenn ihre Quersumme durch 3 teilbar ist.

Ich möchte hier drei Wege zeigen, wie man herausfindet, wie viele der 64 vom Glücksrad gelieferten Zahlen eine durch 3 teilbare Quersumme haben.

Der direkte Weg besteht darin, systematisch die in Frage kommenden Zahlen aufzuschreiben. Das kann z.B. wie folgt geschehen:

003, 012, 021, 030, 033

102, 121, 120, 123, 132,

201, 210, 213, 222, 231,

300, 303, 312, 321, 330,

333

Die gesuchte Wahrscheinlichkeit ist 21/64 = 0,328125 .

Zum zweiten Weg. Gesucht sind die vom Glücksrad gelieferten Zahlen, deren Quersumme den Dreierrest Null hat. Um diesen Rest zu erhalten, muss man nicht die Summe bilden und dann deren Rest suchen; man kann auch erst von jedem Summanden den Rest bilden, diese Reste dann aufaddieren und vom so erhaltenen Ergebnis den Rest bilden. Beispiel:

Gesucht ist der Rest von 232. 2 + 3 + 2 ≡ 2 + 0 + 2 ≡ 4 ≡ 1.

Und so denken wir uns das Glücksrad ersetzt durch ein „Resterad“, das nur die Dreierreste der vier Ziffern 0, 1, 2, 3, enthält. Jetzt besteht es aus drei Sektoren, von denen einer – der Sektor mit der 0 - die Hälfte des Rades umfasst, die beiden anderen mit den Ziffern 1 und 2 jeweils ein Viertel des Rades ausmachen. Das Resterad wird dreimal gedreht; es gibt jetzt die folgenden Möglichkeiten, dass die Summe der Reste den Dreierrest 0 hat.

Erstens die Anzeige 222 ( Wahrscheinlichkeit (1/4)3 = 1/64), zweitens die 3! = 6 Anzeigen mit den Ziffern 0, 1, 2 ( Wahrscheinlichkeit 6• ½ •1/4•1/4 = 6/32 = 12/64) und drittens die Anzeige 000 ( Wahrscheinlichkeit (1/2)3 = 1/8 = 8/64). In der folgenden Tabelle sind diese Möglichkeiten aufgelistet.

Anzeige Resterad

Wahrscheinlichkeit

Dazugehörige Anzeigen des echten Glücksrades

222

(1/4)3 = 1/64

222

012

½ •1/4•1/4 = 1/32

012, 312

021

½ •1/4•1/4 = 1/32

021, 321

111

1/64

111

102

½ •1/4•1/4 = 1/32

102, 132

201

½ •1/4•1/4 = 1/32

201,231

120

½ •1/4•1/4 = 1/32

120,123

210

½ •1/4•1/4 = 1/32

210,213

000

(1/2)3 = 1/8

000, 003,030,300,330,303,033,333

Zusammen: 2/64 + 6/32 + 1/8 = 22/64. Zieht man die 000 des echten Glücksrades davon ab, kommt man wie beim ersten Weg auf 21/64.

Zum dritten Weg.

Die Anzeigen des Glücksrades wollen wir als im Vierersystem geschrieben betrachten. Dann stellen sie lückenlos die Zahlen von 0 bis 63 dar ( 3334 = 3•16 + 3•4 + 3 = 63). Darunter gibt es genau 21 Zahlen (von drei bis dreiundsechzig), die durch drei teilbar sind. Nun gilt folgender Satz:

Eine Zahl ist genau dann durch 3 teilbar, wenn die Quersumme der im Vierersystem geschriebenen Zahl durch 3 teilbar ist ( Diesen Satz werden wir unten noch beweisen).

Das heißt: Lesen wir die Zahlen, welche das Glücksrad liefert, als im Vierersystem geschrieben, so sind darunter genau 21, deren Quersumme durch 3 teilbar ist. Beim Übergang ins Zehnersystem ändert sich an der Quersumme nichts.

Fazit: Das Glücksrad liefert – auch im Zehnersystem - genau 21 Zahlen, deren Quersumme durch 3 teilbar ist, die also selbst durch 3 teilbar sind. Die gesuchte Wahrscheinlichkeit ist gleich 21/64 .

Ich will nicht verschweigen, dass meine im ersten Weg gewählte Methode, die 21 Zahlen aufzulisten, darin bestand, die Zahlen drei, sechs u.s.w. bis dreiundsechzig im Vierersystem aufzuschreiben.

Zum Beweis.

Gegeben sei eine Zahl z. Wir schreiben sie im Vierersystem:

z = an•4n + an-1 • 4n-1 + ... +a1 • 4 + a0 = an •(3+1)n + an-1 • (3+1)n-1 + ... a1 • (3+1) + a0

 

Entwickeln wir die Klammerterme nach der Binomischen Formel, so erhalten wir:

z = R•3 + (an + an-1 + ...+a1 + a0) , wobei R eine natürliche Zahl ist. z ist genau dann durch 3 teilbar, wenn die Quersumme durch 3 teilbar ist.