In Peters Garten

Peter grenzt in einem Beet seines Gartens in der Ecke C ein dreieckförmiges Stück ab. Dazu legt er zwei aneinandergefügte Beetplatten, die zusammen eine Strecke AB von zwei Metern Länge ergeben, von einem Rand des Beetes zum anderen. Wie muss Peter seine Begrenzung legen, damit das abgetrennte dreieckförmige Stück maximalen Flächeninhalt hat?

a) Der Winkel γ in der Ecke C sei ein rechter. Bestimmen Sie die Winkel, welche die begrenzende Strecke mit den Beeträndern bilden muss, wenn der Inhalt des Dreiecks maximal sein soll. Berechnen Sie den Inhalt des Dreiecks.

b) Der Winkel γ sei kein rechter. Lösen Sie auch in diesem Fall das unter a) gegebene Problem, indem Sie die Größen der Winkel als auch den Flächeninhalt von Peters Dreieck als Funktion von γ angeben. Welche Werte nehmen diese Größen an, wenn γ = 40° ist?


a) Die Punkte, von denen aus eine Strecke AB unter einem rechten Winkel erscheint, bilden den Thaleskreis. Wie immer die Begrenzung liegt, der Punkt C liegt auf dem Halbkreis mit dem Durchmesser AB . Der Inhalt des Dreiecks ABC ist maximal, wenn C genau senkrecht über dem Mittelpunkt des Thaleskreises liegt. Dann ist das Dreieck gleichschenklig; die Winkel in A und B sind gleich 45°, und das Dreieck hat den Inhalt 1/2•(ABAB/2) = 1 m2

b)

Das gleichschenklige Dreieck mit der Basis AB und mit dem Spitzenwinkel γ – und damit den Basiswinkeln α =β = (180° - γ)/2 – ist eindeutig bestimmt. Peter kann seine Begrenzung in dieser Weise legen. Damit hat er auch schon das Dreieck mit maximalem Flächeninhalt abgegrenzt, wovon man sich wie folgt überzeugt. Alle Punkte, von denen aus die Strecke AB unter dem Winkel γ erscheint, liegen auf dem Umkreis um dieses Dreieck: γ ist Peripheriewinkel über der Sehne AB . Offensichtlich hat das gleichschenklige Dreieck als dasjenige mit dem größten Abstand des Punktes C von der Strecke AB und damit als dasjenige mit der größten Höhe den größten Flächeninhalt.

Der Inhalt des Dreiecks ABC ist gegeben durch 1/2• AB • h = 1/2• AB • (( AB /2)•tan(α)) =

= ( (AB )2 /4 ) • tan(α)

Im Fall γ = 40° und AB = 2m ist α = 70° , und der Inhalt ist gleich 2,75m2

Ein Hinweis zum Verfahren, das bei der Lösung hier verwendet worden ist. Man wechselt das Bezugssystem ( einfacher ausgedrückt: den Standpunkt). Im beschriebenen Experiment liegt die Ecke C des Beetes fest, die begrenzende Strecke AB wird verschoben. Die Lösung wird aber recht einfach , wenn man die Sache von der Strecke aus sieht, diese als ruhend betrachtet und den Punkt C wandern lässt.