Ein geometrisches Mittel

Der Wert eines Kapitals steigt in einem Jahr um 30%, im darauf folgenden Jahr verringert er sich um 20%.

a) Um wieviel Prozent hat sich der Wert im Verlauf der beiden Jahren gegenüber dem Wert (Grundwert) verändert, der zu Beginn der beiden Jahre vorlag?

b) Um welchen gleichbleibenden Prozentsatz müsste sich das Kapital in den beiden Jahren verändern, damit am Ende dieser Zeit der gleiche Wert erreicht wird, der tatsächlich vorliegt?

c) Lösen Sie das Problem in allgemeiner Form. In einem Jahr ändert sich eine Größe um q Prozent, im darauf folgenden Jahr um r Prozent. Um welchen gleichbleibenden Prozentsatz p müsste sich die Größe in den beiden Jahren ändern, um den gleichen Endwert zu erreichen?

d) Eine Größe a, die sich um q Prozent verändert, hat danach den Wert ao(1+q/100). Man nennt den Faktor 1 + q/100 Wachstumsfaktor, auch wenn es sich - bei negativem q - um eine Schrumpfung handeln kann. Unter dem mittleren Wachstumsfaktor versteht man die folgende Zahl. Eine Größe möge sich in einem Jahr um den Wachstumsfaktor x verändern, im darauf folgenden um den Wachstumsfaktor y. Der mittlere Wachstumsfaktor ist derjenige, um die sich die Größe im ersten und im zweiten Jahr ändern müsste, um den gleichen Endwert zu erreichen.
Zeigen Sie: Vom Fall x = y abgesehen, ist der mittlere Wachstumsfaktor stets kleiner als das arithmetische Mittel (x + y)/2.

e) Eine Größe ändert sich im ersten Jahr – oder einem anderen vorgegebenen Zeitabschnitt – mit dem Wachstumsfaktor x1, im darauffolgenden Jahr mit dem Wachstumsfaktor x2, dann mit den Faktoren x3, x4 u.s.w. bis zum Faktor xn im n-ten Jahr. Zu bestimmen ist der mittlere Wachstumsfaktor z über die n Jahre hinweg.

a) 1,3•0,8 = 1,04. Das Kapital ist um 4 Prozent gewachsen.

b) 1,3•0,8 = (1 + p/100 )2 → 1 + p/100 = ( 1,3•0,8)0,5 → p = ( (1,3•0,8)0,5 – 1) • 100 = 1,98

Der gesuchte gleichbleibende Prozentsatz ist gleich 1,98 %

c) ( 1 + q/100)•(1 + r/100) = (1 + p/100)2 → p = ( ( (1+q/100)•(1+r/100) )0,5 – 1) • 100

Der mittlere Wachstumsfaktor ist gleich dem geometrischen Mittel aus den beiden einzelnen Wachstumsfaktoren. Die mittlere prozentuale Wachstumsrate erhält man, indem man davon 1 abzieht und die Differenz mit 100 multipliziert.

Im vorliegenden Beispiel ist q = 30 und r = - 20.

d) Sei z der mittlere Wachstumsfaktor. Es gilt : x•y = z2 oder z = (x•y)0,5; z ist wie schon in dem vorangegangenen Aufgabenteil erwähnt das geometrische Mittel aus x und y . Dieses ist nur im Fall x = y gleich dem arithmetischen Mittel (x +y)/2 und im übrigen kleiner, wovon man sich wie folgt überzeugen kann. ( Zu beachten: x, y, z sind positive Zahlen).

(x+y)/2 ≥ (xy)0,5 ↔ (x+y)2 ≥ 4xy ↔ x2+2xy+y2 ≥ 4xy ↔x2-2xy+y2≥0 ↔ (x-y)2≥0

Im Fall unserer Aufgabe ist x = 1, 3 und y = 0,8 und z = (1,3•0,8)0,5 = 1,0198 . Das arithmetische Mittel ist (1,3 + 0,8)/2 = 1,05 .

e) x1•x2• • • xn = zn , also z = (x1•x2• • • xn)1/n Der mittlere Wachstumsfaktor ist gleich der n-ten Wurzel aus dem Produkt der n Wachstumsfaktoren; das ist das geometrische Mittel dieser n Zahlen.