Spiele mit Zufallszahlen

Ein Generator erzeugt zufällig eine Zahl x; 0≤ x≤ 1. Es wird vorausgesetzt, dass der Generator perfekt funktioniert: Denkt man sich das Intervall von 0 bis 1 in beliebig viele gleich große Intervalle zerlegt, so soll die Wahrscheinlichkeit, x in einem dieser Intervalle anzutreffen, für alle Intervalle gleich groß sein.

Nachdem der Generator x erzeugt hat, rechnet er daraus zwei Summen gemäß folgender Vorschrift aus:

a) x2 + x

b) x3/2 + 0,5

So entstehen im Fall a) Zahlen zwischen 0 und 2; im Fall b) Zahlen zwischen 0,5 und 1,5.

Man denkt sich nun folgendes Spiel aus. Wenn die Summe größer oder gleich 1 ist, gewinnt der Spieler 3€; ist sie kleiner als 1, verliert er 2€; eine Teilnahmegebühr wird nicht erhoben.

Zeigen Sie: In beiden Fällen a) und b) wird auf lange Sicht der Spieler verlieren bzw. die Bank gewinnen.

c) In einem dritten Spiel erzeugt der Generator zwei Zufallszahlen x, y mit 0≤x,y≤ 1 . Er bildet sodann daraus die Zahl | x – y| , den Betrag der Differenz. Es wird folgende Gewinnregel vereinbart: Ist dieser Betrag größer als 0,6 , dann gewinnt der Spieler 5€, andernfalls verliert er einen €; eine Teilnahmegebühr wird nicht erhoben. Zeigen Sie: Auch in diesem Fall gewinnt auf lange Sicht die Bank!


a) und b) .Die beiden Funktionen, die nach den Vorschriften gemäß a) und b) gebildet werden, sind in dem Intervall von 0 bis 1 streng monoton wachsend. Zu jeder der beiden Funktionen gibt es eine Zahl r aus [0;1], von der ab die Funktionswerte größer oder gleich 1 sind. Nach Voraussetzung ist das Maß der Wahrscheinlichkeit, dass die Zahl x in einem Teilintervall von [0;1] liegt, gleich der Länge dieses Teilintervalls. Der Erwartungswert E(g) des Gewinns des Spielers ist deshalb gegeben durch:
E(g) = r•( -2) + (1-r)•3 = -2r + 3 – 3r = 3 – 5r

Der Erwartungswert ist negativ, d.h. die Bank gewinnt auf lange Sicht, wenn r>0,6.

Zu zeigen ist demnach: In beiden Fällen a) und b) ist die Zahl x, von der ab die Funktionswerte größer oder gleich 1 sind, größer als 0,6.

Setzt man im Fall a) für x die Zahl 0,6 ein, so ergibt sich 0,96: d.h. die Zahl x, von der ab der Funktionswert größer oder gleich 1 ist, muss größer als 0,6 sein ( wer es ausrechnen möchte:

x2 + x = 1 hat im Intervall [0;1] die Lösung 50,5/2 – 0,5 ≈ 0,618) .

Im Fall b) erhält man: x3/2 + 0,5 ≥ 1 ↔ x3/2 ≥ 0,5 . Es folgt x ≥ 0,52/3 = 0,251/3

Die dritte Wurzel aus 0,25 ist größer als 0,6, wovon man sich direkt überzeugen kann,

da 0,63 = 0,36•0,6 = 0,216 < 0,25 bzw. 0,251/3 > 0,6

c) |x-y| > 0,6 → (x>y ^ x-y>0,6) v (x<y ^ y-x>0,6) → (x>y ^ y< x – 0,6) v (x<y ^ y>x+0,6)

In der folgenden Skizze ist die Lösungsmenge { (x|y) }dargestellt; es handelt sich um die beiden rechtwinkligen Dreiecke, die fett umrandet sind.

Der Inhalt der beiden Dreiecksflächen zusammen beträgt 2•1/2•0,42 = 0,16. Damit ist die Gewinnwahrscheinlichkeit gleich 0,16; die Wahrscheinlichkeit eines Verlustes ist gleich 0,84.

Der Erwartungswert des Gewinns errechnet sich zu 0,16•5 + 0,84•(-1) = - 0,04 < 0

Auf lange Sicht wird also die Bank gewinnen.