Kaufmann Jens

Kaufmann Jens betreibt eine Eisenwarenhandlung. Da seine Stammkundschaft nichts von komplizierten Rabatten oder anderen verwirrenden Preisgestaltungen hält, setzt Jens gewöhnlich zu jeder Ware einen gleichbleibenden Preis fest. Eines Tages jedoch überlässt ihm sein Großhändler einen Posten einer Ware, die nicht ins bisherige Sortiment passt, sodass Jens aus seinen Erfahrungen keinen Stückpreis herleiten kann. Dieses eine Mal muss er experimentieren, und er macht die folgenden Beobachtungen.

a) Bei Stückpreisen oberhalb von 20€ ist die Ware unverkäuflich. Senkt Jens den Stückpreis y unter diese Grenze, geht der Verkauf los. Jens senkt den Preis in Schritten von 1€, und nach den ersten paar Senkungen bemerkt er, dass bei jeder Senkung um 1€ vier weitere Stücke verkauft werden. Angenommen, dieser Verlauf setzt sich bis zum Stückpreis y = 0 fort: Welcher Zusammenhang besteht dann zwischen dem Stückpreis y und der Anzahl x der bis dahin verkauften Stücke? Wie viele Stücke könnte Jens höchstens verkaufen? Tragen Sie den Graph der Funktion y(x) in ein Koordinatensystem ein ( x- Achse: 10 Käufer = 1cm; y-Achse: 2€ = 1cm).
( Lösung zur Weiterrechnung in den folgenden Teilen: y/20 + x/80 = 1).

b) Jens will nach den ersten paar Preissenkungen einen gleichbleibenden Preis festsetzen. Er nimmt an, dass die in Teilaufgabe a) gefundene Beziehung zwischen Stückpreis y und Anzahl der verkauften Stücke x für alle x, y gilt. Welchen Festpreis muss er wählen, damit das Produkt y•x, das ist sein Umsatz, maximal wird? Lösen Sie die Aufgabe auch im allgemeinen Fall y(0)=b und y(a) = 0 .

c) Angenommen, Jens wäre dabei geblieben, den Preis allmählich abzusenken. Tragen Sie in die Skizze die Fläche ein, welche den Umsatz repräsentiert. Der Einfachheit halber wählen wir zur Zeichnung große Preissprünge: Δy = 4€. Welche obere Grenze hätte der Umsatz im gegebenen Fall und im allgemeinen Fall y(0)=b und y(a) = 0 ? Vergleichen Sie mit Teilaufgabe b) !


a) Δy/Δx = -1/4 und y(0) = 20 : y = ( - ¼)•x + 20 oder y/20 + x/80 = 1 . Mit y = 0 ist x = 80. Jens könnte höchstens 80 Stück verkaufen.

b) Der Umsatz U ist gegeben durch U(x) = y•x = (-1/4)•x2 +20x, Ableitung nach x und Nullsetzen ergibt (-1/2)•x +20 = 0 und damit x = 40 . Die zweite Ableitung ist gleich –1/2 < 0; es handelt sich also um ein Maximum. Es ist y( 40) = 10 .

Lösung ohne Verwendung der Differentialrechnung:
U(x) = (-1/4)•( x2 – 80x) = (-1/4)•(x2 – 80x +1600) +400 = (-1/4)•(x- 40)2 +400

U(x) ist maximal, wenn das Quadrat gleich Null ist, also an der Stelle x = 40 . Es ist y(40) = 10.
Jens muss einen Festpreis von 10€ wählen, damit sein Umsatz maximal wird. Er verkauft dann 40 Stück, und der Umsatz ist gleich 40•10€ = 400 €.

Lösung im allgemeinen Fall.

Die Punkte liegen auf dem Stück einer Geraden im ersten Quadranten, die durch die Punkte (0|b) und (a|0) geht.

Der Umsatz U ist gegeben durch U = x • y = x• ( -b/a • x + b ) = b/a • ( -x2 + a•x )
Ableiten nach x: U’ = b/a • ( -2x +a) und U’’ = -2b/a < 0 : Max. im Fall x = a/2.
Der Umsatz ist maximal im Fall x = a/2; dann ist y = b/2 und U = ab/4 .

Jens muss den halben Höchstpreis festsetzen, und er verkauft dann die Hälfte der absetzbaren Waren.

Rechnung ohne die Differentialrechnung zu Hilfe zu nehmen: U = b/a • ( -x2 + ax)

Quadratische Ergänzung: U = b/a • ( (a/2)2 – (x2 – ax + (a/2)2 )) = b/a • ( (a/2)2 – (x – a/2)2 )

U ist maximal im Fall x = a/2; dann ist y = b/2 und U = ab/4.

 

c)

Die Fläche unter der Treppenkurve repräsentiert den Umsatz, wenn die Preissprünge gleich 4€ wären. Bei stets kleiner werdenden Preisnachlässen strebt diese Fläche gegen die Fläche unter der Geraden. ( Die Fläche unter der Treppenkurve ist eine Untersumme des Integrals unter der Kurve x/80 + y/20 = 1). Die Fläche unter der Geraden ist die obere Grenze des Umsatzes. Im vorliegenden Fall ist dieser Wert gleich 1/2•80•20€ = 800€. Das ist doppelt so viel wie im Fall des maximal gewählten Festpreises in Teilaufgabe b). Im allgemeinen Fall: Die Gerade mit der Funktionsgleichung x/a + y/b = 1 schließt mit den Koordinatenachsen die Fläche ab/2 ein. Das ist die obere Grenze des Umsatzes bei „flexibler“ Preisgestaltung. Der Wert ist doppelt so groß wie im Fall des maximal gewählten Festpreises in Teilaufgabe b).

Ein Kommentar zu dieser Aufgabe.

Es mag verwirrend erscheinen, dass ich mit y den Stückpreis, mit x die Anzahl der verkauften Stücke bezeichnet habe statt es gerade umgekehrt zu machen: Auf den ersten Blick hält man doch den Stückpreis für die unabhängige, die Anzahl der verkauften Stücke für die abhängige Variable. Weil es sich aber im vorliegenden Fall um eine streng monotone Funktion handelt, ist es unerheblich, welche der Variablen man als die unabhängige ansieht. Beim Herumblättern in einem Konversationslexikon aus den fünfziger Jahren stieß ich auf die sog. Nachfragekurve. In dieser Kurve werden gerade so, wie es hier in der Aufgabe geschieht, der Stückpreis einer Ware auf der Ordinate, die verkaufte Stückzahl auf der Abszisse aufgetragen. Die Kurve beginnt, wie es sein muss, bei (0|b), verläuft dann wie hier mit steigender Stückzahl monoton fallend, freilich leicht nach links gekrümmt, aber doch zunächst kaum von einer Geraden abweichend. Nähert sich der Preis dem Wert Null, so wächst die Stückzahl stark an, die Kurve verläuft deshalb einigermaßen asymptotisch zur Abszisse. In unserem Fall hat Kaufmann Jens nur eine begrenzte Zahl von Stücken der Ware im Angebot. Seine Nachfragekurve muss daher irgendwo auf der x-Achse enden.