Das harmonische Mittel

Wenn ein Körper die Strecke s in der Zeit t zurücklegt, so bezeichnet man den Quotienten v = s/t als seine „mittlere“ Geschwindigkeit.

Beim Sprinttraining einer Fußballmannschaft wird oft ein Pendellauf durchgeführt. Das ist eine Variante des Staffellaufs, die ohne Staffelstab und ohne komplizierte Wechselregeln auskommt. Einige Spieler werden bei einem Punkt A des Platzes versammelt, die anderen bei einem Punkt B, der hier in der Aufgabe vom Punkt A 48m entfernt sein soll. Der erste Spieler startet bei A, sprintet geradewegs zu Punkt B, wo dann sofort der zweite Spieler startet, um zum Punkt A zurückzulaufen u.s.w. . Der erste Spieler läuft mit einer Geschwindigkeit von 6m/sec, der zweite mit einer Geschwindigkeit von 8 m/sec.

a) Berechnen Sie die Zeit T, die vom Start des ersten Spielers vergeht bis zur Ankunft des zweiten im Punkt A.

b) Berechnen Sie die mittlere Geschwindigkeit v, die ein dritter Spieler haben müsste, der in der Zeit T von A nach B und wieder zurück laufen würde.

c) Zeigen Sie: Wenn der erste Spieler die Geschwindigkeit v1 hat und der zweite die davon verschiedene Geschwindigkeit v2 , so ist die mittlere Geschwindigkeit v des dritten Spielers kleiner als (v1+v2)/2 . ( v ergibt sich als das harmonische Mittel der Geschwindigkeiten v1 und v2 )

d) An dem Pendellauf nehmen n Spieler teil; ihre Geschwindigkeiten sind v1,v2, ...,vn. Bestimmen Sie eine Term zur Berechnung der mittleren Geschwindigkeit der n Spieler (d.i. das harmonische Mittel dieser Geschwindigkeiten).
Hinweis: Wer den Pendellauf aus eigenem Erleben nicht kennt, dem ist vielleicht doch vom Fernsehen her vertraut, wie die Wechsel bei den Staffeln der Schwimmer ablaufen.


Die Mannschaft veranstaltet einen Benefizlauf. Dabei werden die insgesamt von allen Spielern gelaufenen Kilometer gezählt. Pro gelaufenem Kilometer stiftet ein Sponsor 2€.

Da es ein recht heißer Tag ist, laufen alle nur 35 min.

e) Der Spieler Daniel läuft mit einer Geschwindigkeit von 2,5 m/sec, der Spieler Peter mit einer Geschwindigkeit von 3,5 m/sec. Welchen Betrag wird Daniel, welchen Betrag wird Peter erlaufen?

Welche Laufzeiten tDa bzw. tPe würden Daniel bzw. Peter benötigen, wenn sie den Betrag, den sie zusammen erlaufen, jeweils alleine gewinnen wollten? Geben Sie diese Zeiten auch in Minuten an.

f) Die Spieler Wolf und Dieter laufen nebeneinander her. Sie gewinnen zusammen den gleichen Betrag, den Daniel und Peter zusammen erreicht haben. Wie lange hätte jeder von beiden alleine laufen müssen, um diesen Betrag zu gewinnen? Vergleichen Sie diese Zeit mit den Laufzeiten von Daniel und Peter.


a) t1 = 48m/(6m/sec) = 8sec; t2 = 48m/(8m/sec) = 6sec ; T = 14 sec.

b) v = 96m/14sec= 48/7sec < (8+6)/2sec = 7sec

c) s/v1 + s/v2 = 2s/v → v = 2v1v2/(v1+v2) . Beh.: 2v1v2/(v1+v2) < (v1+v2)/2

↔ 4v1v2 <(v1+v2)2 ↔ 0 < (v1 – v2)2 , was im Fall v1≠v2 richtig ist

d) s/v1 + s/v2 + … + s/vn = ns/v

↔ (v2v3…vn + v1v3…vn + v1v2…vj-1vj+1…vn +…+v1v2…vn-1)/(v1v2…vn) = n/v

↔ v = nv1v2…vn / (v2v3…vn + v1v3…vn + v1v2…vj-1vj+1…vn +…+v1v2…vn-1)

e) Daniel läuft 2,5m/sec•2100sec= 5250m; er gewinnt 10,5€.
Peter läuft 3,5m/sec•2100sec = 7350m; er gewinnt 14, 70€. Zusammen erlaufen sie 25,2€.
Sie sind zusammen 12600 m gelaufen.

tDa = 12600m/(2,5m/sec) = 5040sec = 84 min ; tPe = 12600m/(3,5m/sec) = 3600sec= 60 min

f) Jeder von beiden hätte 2•35 min = 70 min lang laufen müssen.

Wolf und Dieter zusammen legen in 35 min die gleiche Strecke zurück wie Peter und Daniel zusammen, denn die beiden Läuferpaare erlaufen die gleiche Summe. Beide Läuferpaare gewinnen pro Zeiteinheit die gleiche Summe, legen also pro Zeiteinheit die gleiche Strecke zurück. Die Geschwindigkeiten sind die „Raten“, mit denen Strecken bzw. Euros gesammelt werden. Die Raten eines Läuferpaares erhält man, indem man die Raten der beiden Partner addiert, und das Ergebnis dieser Addition ist bei beiden Paaren gleich, d.h. Addiert man die Geschwindigkeiten von Peter und Daniel und die von Wolf und Dieter, so sind die Summen gleich.

Mit den „Laufzeiten“ sind die Zeiten gemeint, in denen ein jeder einzeln die 25,2€ erlaufen würde d.h. die Strecke s = 12600 m zurücklegen würde. Addition der Geschwindigkeiten ergibt:

2s/tWo = s/tDa + s/tPe ↔ 2/two = 1/tDa + 1/tPe ↔ tWo = 2•tDa•tPe/(tDa + tPe)

Probe durch Einsetzen: 2•84•60/(84+60) = 70

Die Laufzeit von Wolf bzw. von Dieter ist das harmonische Mittel der Laufzeiten von Peter und Daniel.



Der zweite Teil der Aufgabe hat die gleiche Form wie die sog. Röhrenaufgaben, welche zum üblichen Repertoire des bürgerlichen Rechnens gehören. Ein Beispiel dazu.

Eine Röhre füllt ein Becken in drei Stunden, eine zweite in vier Stunden. Wie lange würde es dauern, bis beide Röhren zusammen das Becken gefüllt hätten? Und wenn man die beiden gegebenen Röhren durch zwei gleiche Röhren ersetzen würde: Welche Füllzeit tf hätte eine jede dieser beiden Röhren ?

Die Füllraten sind zu summieren: 1/3 h-1 + ¼ h-1 = 7/12 h-1, woraus folgt, dass beide Röhren zusammen das Becken in 12/7 Stunden füllen würden. Es folgt tf = 2•12/7h = 24/7h .

Von den Raten her gesehen ( jeweils gemessen in h-1) : 1/3 + ¼ = 2/tf

→ tf = 2•3•4/(3+4)=24/7 . Die Füllzeit tf ist das harmonische Mittel der Füllzeiten der beiden gegebenen Röhren.

Ein weiterer Nachtrag für den geduldigen Leser.

Die folgende Figur zeigt ein arithmetisches, mehrere geometrische Mittel und ein harmonisches Mittel. Sie entsteht wie folgt.

In den ersten Quadranten eines x-y-Koordinatensystems wird ein Quadrat eingezeichnet mit den Ecken ( 0|0), (a|0), (a | a ), (0 | a) . In der Figur ist a = 6. Den y-Achsenabschnitt unterteilt man in die Strecken y1 und y2 = a – y1 . In der Figur ist y1 = 4 und y2 = 2 . Das arithmetische Mittel dieser beiden Größen ist ( I ) ym = (y1 + y2)/2 . In der Figur ist ym = 3 .

Dann trägt man drei Rechtecke ein, die mit dem Quadrat flächengleich sind. Sie haben mit dem Quadrat die Ecke (0|0) gemeinsam. Eine zweite Ecke liegt auf ( 0 | y1), ( 0 | ym ) ,( 0 | y2 ).

Folglich liegt die rechte untere Ecke in ( x1 | 0 ), ( xm | 0 ) , ( x2 | 0 ), wobei gilt:

( II ) a2 = x1y1 = xmym = x2y2 In der Figur sind a2 = 36, x1 = 9, xm = 12, x2 = 18

Die Größe a ist das geometrische Mittel aus x1, y1 und ebenso aus xm, ym und x2 , y2 .

Aus (II) und (I) folgt: xm•(y1 + y2)/2 = x1y1 = x2y2 und daraus xm = 2x1y1/(y1 + y2) =

= 2x1/(1 + y2/y1) = 2x1/( 1 + x1/x2) = 2x1x2/(x1 + x2) .

Wir halten fest : xm = 2x1x2/(x1 + x2) , d.h. xm ist das harmonische Mittel aus x1 , x2 .

In der Figur ist xm = 2•9•18/(9+18) = 2•18/(1+2) = 36/3 = 12