Inkreise I

In den Schulbüchern wird nach Behandlung der Anfänge der Kreisgeometrie oft die folgende Aufgabe gestellt, und ich kenne niemanden, der bei erster Bekanntschaft mit der Aufgabe über die Lösung nicht verwundert gewesen wäre. Die Aufgabe kann z.B. die folgende Form haben.

Um einen kreisrunden Pfeiler, dessen Durchmesser ein halber Meter lang ist, wird ein Seil straff gespannt. Jetzt nimmt man ein zweites Seil, das zehn Zentimeter länger ist als das erste. Dieses passt nicht mehr auf den Pfeiler, es bleibt etwas „Luft“. Um wie viel Zentimeter verläuft das zweite Seil, wenn man es kreisförmig um den Pfeiler herumlegt, über der Oberfläche des Pfeilers? Angenommen, ein Seil wäre straff um den Erdäquator gespannt. Auch in diesem Fall nehmen wir ein zweites, das zehn Zentimeter länger ist und legen es kreisförmig um den Äquator herum. Welchen Abstand hat das zweite Seil von der Erdoberfläche?

a) Lösen Sie die genannte Aufgabe. Zeigen Sie dazu: Gegeben ist ein Kreis mit Radius R. Wird der Umfang des Kreises um ΔU geändert, so ist die damit einhergehende Änderung ΔR des Radius nicht von R abhängig.

b) Gegeben seien ein gleichseitiges Dreieck, ein Quadrat, allgemein ein gleichseitiges n-Eck.

Mit a wird die Seitenlänge, mit R wird der Radius des Inkreises bezeichnet – das ist der Kreis, der die Seiten des n-Ecks als Tangenten hat. Der Umfang des Dreiecks, Quadrats, n-Ecks werde um ΔU geändert. Zu zeigen ist: Die mit der Änderung des Umfanges einhergehende Änderung ΔR des Inkreisradius hängt nicht von a ab.


a) 2π•(R + ΔR) = 2π•R + 2π•ΔR . Es ist also ΔU = 2π•ΔR. Damit ist ΔR = ΔU/(2 π) .

Dieser Wert ist unabhängig von R; er beträgt im gegebenen Fall (5/π) cm . Das jeweilige zweite Seil, das um den Äquator bzw. den Pfeiler gelegt wird, verläuft um dieses Stück oberhalb der Erd-bzw. der Pfeileroberfläche.

Man kann die Aufgabe auch in folgender Weise angehen. Der durch die Änderung des Umfangs neu entstehende Kreis geht aus dem ursprünglichen durch eine zentrische Streckung hervor. Streckzentrum ist der Kreismittelpunkt, der Streckfaktor sei k. Um diesen Faktor ändern sich sowohl der Umfang als auch der Radius, und R/U ist eine Konstante. Wie bei jeder proportionalen Funktion sind die Quotienten ΔR/ΔU und R/U gleich; in diesem Fall ΔR/ΔU = R/U = 1/(2π) .

b) Wiederum kann man die Aufgabe durch den Hinweis auf die zentrische Streckung lösen. Das durch die Änderung des Umfangs entstehende gleichseitige n-Eck geht aus dem ursprünglichen durch eine zentrische Streckung hervor. Streckzentrum ist der Mittelpunkt des Inkreises; sowohl der Umfang des n-Ecks wie auch der Radius des Inkreises ändern sich um den gleichen Streckfaktor. Der Quotient R/U ist konstant; er ändert sich mit der Größe des n-Ecks nicht. Er ist gleich dem Quotienten ΔR/ΔU , der damit ebenfalls nicht von der Größe des n-Ecks abhängt.

Vielleicht hat der Leser eine weniger direkte Lösung gewählt; im folgenden wird eine solche Schritt-für-Schritt-Lösung angeboten. Dabei wird auch der Quotient R/U ausgerechnet ( zur Lösung der Aufgabe benötigt man diesen Wert nicht; es genügt zu wissen, dass er konstant ist).

Sehen wir uns zunächst das Quadrat an, wo die Lösung recht anschaulich ist.

Im Fall des gleichseitigen Dreiecks kann man wie folgt rechnen.

Δa =ΔU/3 ; R = (1/3)•( 30,5•a)/2 = (30,5/6)•a ; Rneu = (30,5/6)•(a + ΔU/3) also ΔR = (30,5/18)•ΔU

 

Gehen wir nun zum allgemeinen Fall des gleichseitigen n-Eck.

Ein solches n-Eck lässt sich in n gleich große gleichschenklige Dreiecke zerlegen; deren Höhe ist gleich R, den Winkel an der Spitze bezeichnen wir mit γ ( γ = 2π/n) . Wir erhalten:

U = na; tan(γ/2) = tan(π/n) = a/(2R) → R = a/(2tan(π/n)) und R = U/(2n•tan(π/n))

R ist proportional zu U : ΔR = ΔU/(2n•tan(π/n))

In jedem gleichseitigen n- Eck ist also bei einer gegebenen Änderung des Umfangs die damit einhergehende Änderung des Radius des Inkreises nicht vom bisherigen Umfang bzw. nicht von der Seitenlänge a und damit nicht von der Ausdehnung („Größe“) des n-Ecks abhängig.

Die Gleichung ΔR = ΔU/(2n•tan(π/n)) geht übrigens im Fall, dass n über alle Grenzen wächst in die oben zum Kreis hergeleitete Gleichung ΔR = ΔU/(2π) über:

n•tan(π/n) = (n•sin(π/n))/cos(π/n) . Verwendet man die Reihenentwicklung von Sinus und Cosinus, so findet man, dass der Nenner gegen 1, der Zähler gegen π konvergiert.