Eine Inversion

Unter einer Inversion versteht man eine Abbildung der ( Kartesischen) Ebene auf sich selbst mit den folgenden Eigenschaften. In der Ebene legt man einen Punkt O fest, der als Pol der Inversion bezeichnet wird. Gegeben sei nun ein beliebiger anderer Punkt A der Ebene. Vom Pol O aus zieht man einen Strahl durch A .Auf diesem Strahl liegt ein Punkt A’, für den gilt:

|OA|•| OA’| = 1 . A’ bezeichnet man als Inversionspunkt zu A; aus der Definitionsgleichung ergibt sich, dass auch A Inversionspunkt zu A’ ist. Ist das Produkt gleich einer reellen Zahl k, so handelt es sich um eine Inversion mit dem Pol O und der „Potenz“ k; in dieser Aufgabe befassen wir uns nur mit dem Fall k = 1 .

Zur Lösung von Teilen der Aufgabe benötigt man den Sekantensatz ( Sehnensatz) und dessen Sonderfall, den Sehnentangentensatz.

a)     Gegeben sei die Menge der Punkte X mit |OX| = r ( r > 0 ) . Diese bilden den Kreis um O mit Radius r. Dieser geht bei der Inversion in den dazu konzentrischen Kreis mit Radius 1/r über. Bei welchem Wert von r ist die Summe aus den Umfängen der beiden Kreise minimal?

b)     Zeigen Sie: Eine Gerade, welche durch den Pol verläuft, geht bei der Inversion in sich selbst über. Eine Gerade, welche vom Pol den Abstand 1 hat, geht bei der Inversion in einen Kreis mit dem Durchmesser 1 über, der die Gerade als Tangente hat und der durch den Pol geht.

c)     Zeigen Sie: Ist A von O verschieden und A’ der Inversionspunkt von A, so geht ein Kreis, der AA’ als Sehne hat, bei der Inversion in sich selbst über. Folgern Sie daraus: Wenn A, B voneinander verschiedene Punkte der Ebene sind und A’, B’ die zugehörigen Inversionspunkte, so bilden A, B, A’,B’ ein Sehnenviereck.


a) r und 1/r können als Seitenlängen eines Rechtecks mit dem Inhalt 1 aufgefasst werden. Unter allen Rechtecken mit gleichem Inhalt ist das Quadrat dasjenige mit dem kleinsten Umfang. Also ist die Summe r + 1/r und damit die Summe der Umfänge 2π•(r + 1/r) genau dann am kleinsten, wenn 1/r = r oder r2 = 1, also – wegen r>0 – wenn r = 1.

Man kann auch die Summe r + 1/r nach r ableiten und die Ableitung gleich Null setzen:

1 – 1/r2 = 0, was wiederum r = 1 ergibt; die zweite Ableitung ist gegeben durch 2/r3; sie ist positiv, weshalb es sich um ein Minimum handelt. Der so gefundene Kreis ist der Einheitskreis; dieser geht bei der Inversion in sich selbst über; im Sinne der hier gestellten Aufgabe ist er zweimal zu zählen.

Bei der Inversion geht das Innere des Einheitskreises in das Äußere über (und umgekehrt)

b) Sei A ein Punkt einer Geraden durch den Pol, A ungleich O. Auf demselben Strahl wie A liegt auch der Punkt, der von O den Abstand 1/|OA| hat; eine Gerade durch den Pol geht also bei der Inversion in sich selbst über.

Der Winkel bei A ist ein rechter: (x+y)2 = d2 + 1 . Aus dem Sehnentangentensatz folgt

(x + y) • y = d2. Also ist (x+y)2 = (x+y)•y + 1 und damit (x+y)•x = 1 . Das heißt, dass P Inversionspunkt zu P’ ist und damit auch P’ Inversionspunkt zu P.

(Dass in der Zeichnung OP waagerecht verläuft, ist rein technisch bedingt)

c)

Nach Voraussetzung ist A’ Inversionspunkt zu A: |OA|•|OA’| = 1

Aus dem Sekantensatz folgt: |OA|•|OA’| = |OP|•|OP’| , also |OP|•|OP’| = 1

P’ ist Inversionspunkt zu P, P ist Inversionspunkt zu P’: Der Kreis geht bei der Inversion in sich selbst über.

Seien nun zwei voneinander verschiedene Punkte A, B gegeben mit den Inversionspunkten A’,B’. Durch die drei Punkte A, B, A’ geht genau ein Kreis ( die drei Punkte legen einen Kreis fest). Dieser geht nach dem eben Bewiesenen bei der Inversion in sich selbst über. Also liegt der Inversionspunkt B’ auf diesem Kreis.

Noch ein Hinweis zu dem eben beschriebenen Kreis.

Ein Punkt und sein Inversionspunkt liegen stets auf zwei verschiedenen Seiten des Einheitskreises; ist |OA| > 1, so ist |OA’|< 1 und umgekehrt. Der eben beschriebene Kreis schneidet also den Einheitskreis in zwei Punkten T1,T2 . Es ist |OT1,2|•|OT1,2| = |OT1,2|2 = 1 (Der Einheitskreis geht bei Inversion in sich selbst über). Aus |OT1|2 = |OP|•|OP’| und dem Sehnentangentensatz folgt, dass die Strahlen OT1 und OT2 Tangenten an dem Kreis sind.