Zum Geiger-Müller-Zählrohr

a) Gegeben ist in einem x-y- Koordinatensystem das Quadrat , das von den Punkten (x|y) mit 0≤x≤1 und 0≤y≤1 gebildet wird. Wie groß ist in diesem Quadrat der Anteil der Fläche, welche aus den Punkten besteht, für die gilt | x – y | < 1/3 ?

b) Wenn ein Geiger-Müller-Zählrohr im Plateau-Bereich betrieben wird, entspricht jeder elektrische Impuls, den es registriert, genau einem Teilchen. Hat ein Teilchen einen Impuls ausgelöst, so vergehen rund 10-4 Sekunden, bis das Zählrohr den nächsten Impuls registrieren kann.

Zwei Teilchen treffen innerhalb einer Millisekunde auf das Zählrohr. Ihr Eintreffen ist zufällig über diese Zeit verteilt; das Eintreffen des einen Teilchens ist unabhängig vom Eintreffen des anderen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass nur das zuerst eintreffende Teilchen registriert wird?


a)

|x-y| < 1/3 : ( (x≥y und x-y <1/3) oder (x<y und y-x<1/3) ), also

( (x≥y und y>x – 1/3) oder (x<y und y<x+1/3)) .

Im ersten Fall liegen die Punkte unterhalb und auf der ersten Winkelhalbierenden – hier der Hauptdiagonalen – und oberhalb der eingezeichneten Geraden mit der Gleichung y = x – 1/3, im zweiten Fall oberhalb der ersten Winkelhalbierenden und unterhalb der eingezeichneten Geraden mit der Gleichung y = x+1/3.

Die gesuchten Punkte bilden den Streifen, der innerhalb des Quadrates zwischen den beiden Geraden liegt. Sein Inhalt ist gleich dem Quadratinhalt minus der beiden von den Geraden abgetrennten Ecken: 1 – 2•1/2•(2/3)•(2/3) = 5/9 . Der gesuchte Anteil ist gleich 5/9.

b) Wir denken uns in einem x-y-Koordinatensystem wiederum das in a) gezeichnete Einheitsquadrat eingetragen, wobei jetzt x den Zeitpunkt des Eintreffens des ersten Teilchens, y den des Eintreffens des zweiten Teilchens bezeichnen sollen. Die Einheit wäre gleich 1 Millisekunde. Gesucht ist die Größe des Streifens in diesem Quadrat, der zwischen den Geraden mit den Gleichungen y = x – 0,1 und y = x + 0,1 liegt. Diese ist gleich 1 – 0,92 = 0,19.

Die Wahrscheinlichkeit, dass nur das erste Teilchen registriert wird, ist gleich 0,19.