Inkreise III

Ein Architekt bespricht mit einem Bauherrn die Planung zu einer Halle. Diese soll die Form eines Kreises mit dem Durchmesser 40 m haben. Der Bauherr fragt, um wie viele Meter der Umfang und um wie viele Quadratmeter der Flächeninhalt zunehmen würden, wenn man den Durchmesser um 4m vergrößerte. Nach kurzer Überlegung antwortet der Architekt, der Umfang würde um rund zwölfeinhalb Meter wachsen, die Fläche um etwas mehr als 250 Quadratmeter. Der Bauherr staunt über die prompte Antwort, und er möchte wissen, wie der Architekt seine Überschlagsrechnung durchgeführt habe. Die Änderung ΔU des Umfangs habe er nach der Formel ΔU = 2πΔr berechnet (Δr ist die Änderung des Radius r), die Änderung ΔA des Flächeninhalts sodann nach der Formel ΔA = ΔU•r.

a) Zeigen Sie: Die Formel zur Berechnung von ΔU ist exakt; die Formel zur Berechnung von ΔA liefert im Fall eines richtigen ΔU einen zu kleinen Wert. Zeigen Sie ferner: Der relative Fehler, den der Architekt hier bei der Berechnung von ΔU macht, ist kleiner als 1% ; bei der Berechnung von ΔA irrt er sich um weniger als 6%.

b) Zeigen Sie: Leitet man den Flächeninhalt A eines Kreises nach dem Umfang U ab, so erhält man seinen Radius r .

c) Zeigen Sie: Leitet man im Fall eines gleichseitigen n-Ecks den Flächeninhalt A nach dem Umfang U ab, so erhält man den Radius R seines Inkreises ( das ist der Kreis, der die Kanten des n-Ecks als Tangenten hat).


a) 2π(r+Δr) = 2πr+2πΔr und π(r+Δr)2 = πr2 +2πrΔr+π(Δr)2

ΔA = 2πrΔr + π(Δr)2 > 2πrΔr = 2πΔr•r = ΔU•r

((2π•2 – 12,5)/2π•2) • 100% ≈ 0,53% < 1%.

ΔA = π•222 m2 - π•202 m2 = π•84 m2. Und: ((π•84 – 250)/π•84) •100% ≈ 5,3% < 6%

b) A = πr2 = (2πr)2 / (4π) = U2 /(4π) → A’ = U/(2π) = r ( Also: ΔA/ΔU ≈ r)

c) Der Umfang eines gleichseitigen n – Ecks mit der Kantenlänge a und mit dem Inkreisradius R ist gegeben durch U = na, sein Flächeninhalt durch A = n • (a/2) • R = (U/2) •R, woraus folgt A/U = R/2 .

Eine Veränderung des Radius und eine damit einhergehende Veränderung der ganzen Figur kann man sich vorstellen als eine zentrische Streckung ( Streckfaktor k ) mit dem Mittelpunkt des Inkreises als Streckzentrum. Es folgt:

ΔA/ΔU = (Aneu –Aalt)/(Uneu –Ualt) = (k2 – 1)•Aalt/((k-1)•Ualt = (k+1)•(Aalt/Ualt) = (k+1)•R/2

Übergang ΔU → 0 bedeutet k→1 und damit: A’ = 2•R/2 = R