Wissenschaftliche Darstellung großer bzw. kleiner Zahlen

In der Wissenschaft und Technik hat man es häufig mit sehr großen oder auch sehr kleinen Maßzahlen zu tun.

Beispiele:

Solche Maßzahlen sind zunächst einmal schwierig zu lesen. Noch schwieriger wird es, wenn man sie miteinander vergleichen oder verrechnen möchte.

Versuch einmal, folgende Fragen mit den oben genannten Daten zu beantworten:

Mit Hilfe des Taschenrechners sollte dies doch schnell möglich sein!?

Problem: Die sehr großen bzw. sehr kleinen Maßzahlen lassen sich in obiger Form gar nicht in den Taschenrechner eingeben, da er nicht genügend Stellen anzeigen kann!

Deshalb bedient man sich einer anderen Zahlendarstellung, der sogenannten Exponentialschreibweise. Diese Form erlaubt es, solche Maßzahlen in den Taschenrechner einzugeben, aber der eigentliche Vorteil besteht darin, dass man die (überschlagsmäßigen) Antworten auf obige Fragen schnell und leicht "im Kopf" ausrechnen kann!

Um zu verstehen, wie die Sache funktioniert, erinnern wir uns an die Zehnerpotenzen:

100 = 1
101 = 10
102 = 100
103 = 1000
104 = 10000
105 = 100000
...

Der Exponent einer Zehnerpotenz gibt die Anzahl der Nullen an, die rechts von der Ziffer 1 stehen.

Mit Hilfe einer Zehnerpotenz kann man kompakt auch sehr große Stufenzahlen des Dezimalsystems angeben, z.B. 1015 ist eine 1 mit 15 Nullen (1 Billiarde).

Dies macht man sich bei der Darstellung von großen Zahlen zunutze:

z.B.:  900000 = 9 × 100000 = 9 × 105 = 9.0 × 105 = 9.0 E5

Der Buchstabe "E" steht hier stellvertretend für "mal 10 hoch". Die Schreibweise 9.0 E5 ist die wissenschaftliche Darstellung bzw. Exponentialdarstellung der Zahl 900000. Die Zahl 9.0 wird auch "Mantisse" genannt, die Zahl 5 "Exponent". Ausgehend von dieser Exponentialdarstellung hat man auch sehr schnell wieder die "normale" Zahldarstellung entwickelt, indem man das Komma in der Mantisse um so viele Stellen nach rechts verschiebt, wie der Exponent angibt, und die übersprungenen leeren Stellen mit Nullen auffüllt.

Die Zahl  91200000 lässt sich schreiben als 912 × 100000 = 912 × 105 =  912.0 E5

Dieselbe Zahl könnte man auch so schreiben:  9120.0 · 104 oder 91200.0 · 103 oder 91.2 · 106 oder 9.12 · 107

Bei Verschiebung des Kommas in der Mantisse (z.B. um eine Stelle nach rechts = Verzehnfachung) muss der Exponent entsprechend geändert werden (hier um 1 erniedrigt werden = Zehntelung), damit man stets dieselbe Zahl erhält.

Man hat sich nun auf eine Schreibweise geeinigt: Die Mantisse soll größer oder gleich 1 sein, aber echt kleiner als 10!

Anders ausgedrückt: Die Mantisse darf nur eine Vorkommastelle haben, die ungleich Null sein muss!

Beispiel:  91.2 · 106 oder 0.912 · 108 sind zwar korrekte Darstellungen der Zahl 91 200 000,  entsprechen aber dieser Übereinkunft nicht. Im ersten Fall ist die Mantisse größer gleich 10, im zweiten Fall ist sie kleiner als 1!

Man schreibt statt dessen:  9.12 · 107 oder 9.12 E7.

Wichtig!! Der Ausdruck 9.12 E7, den der Taschenrechner manchmal auch als 9.12  07 oder 9.12 07 darstellt, bedeutet nicht die Potenz 9.127, sondern 9.12 · 107!!!

 Weitere Beispiele:

Zahl Wissenschaftliche Darstellung
2346 2.346 E3
12000 1.2 E4
12005 1.2005 E4
-700 -7.0 E2
13 1.3 E1
5.2 5.2 E0
-350000 -3.5 E5

Durch die Exponentialschreibweise kann man große Zahlen sehr schnell miteinander vergleichen, da man sich das Stellenzählen erspart.

Beispiel:    Die Zahl 50000000 ist 10000mal größer als die Zahl 5000, da erstere "4 Nullen mehr hat". In der Exponentialschreibweise offenbart sich dies sofort:

50000000 = 5.0 E7 und 5000 = 5.0 E3. Der Differenz der Exponenten beträgt 4, also ist die erste Zahl  104 = 10000 mal so groß wie die zweite!

In der Exponentialdarstellung lassen sich große Zahlen auch sehr bequem miteinander multiplizieren:

Beispiel:

400000 × 20000000 = 8000000000000
4.0 E5 × 2.0 E7 = 8.0 E12

Man multipliziert einfach die beiden Mantissen miteinander und addiert die Exponenten:

a En ·  b Em = a·10n  ·  b·10m = a· b · 10n ·10m = (a·b)·10n+m = (a·b) E(n+m)

Auch das Dividieren ist sehr einfach: Man dividiert die beiden Mantissen und subtrahiert die Exponenten von Dividend und Divisor

Beispiel:

60000000 : 200000 = 300
6.0 E7 : 2.0 E5 = 3.0 E2

Wir sind jetzt in der Lage eine Größe, wie die Masse der Erde, sehr kompakt anzugeben. Die Maßzahl beginnt mit den Ziffern 5 9 7, denen 22 Nullen folgen.

Man kann also schreiben: Masse der Erde = 597 E22 kg = 5.97 E24 kg und für die Masse des Eiffelturms 7.3 E6 kg (vergleiche mit oben!).

Nun beantworten wir (überschlägig) die Frage, wie viele Eiffeltürme man benötigt, um die Masse der Erde zu erhalten. Die Mantissen 5.97 und 7.3 der beiden Maßzahlen unterscheiden sich nur wenig und können für einen Überschlag als gleich angenommen werden. Die Exponenten 24 und 6 unterscheiden sich um 18, d.h. die Masse der Erde ist um den Faktor 1018 (1 Trillion mal) größer als die Masse des Eiffelturmes. Die beiden Maßzahlen unterscheiden sich im wesentlichen durch 18 Stellen! Dies hätte man ohne die Exponentialschreibweise nur durch mühsames Nachzählen herausfinden können. 

Wie lange benötigt das Licht von der Sonne bis zur Erde?

mittlerer Abstand der Erde von der Sonne:

150 000 000 000 m

 = 1.5 E11 m
Geschwindigkeit des Lichts:

300 000 000 m/s

 = 3.0 E8 m/s

Die Zeitspanne erhält man, indem man die Streckenlänge durch die Geschwindigkeit dividiert, also:

1.5 E11 m : (3.0 E8 m/s) = 0.5 E(11-8) s = 0.5 E3 s = 5.0 E2 s = 500s

Das Licht benötigt also ungefähr 500s oder 8 min 20s, um zur Erde zu gelangen.

Es fehlen nun noch die betragsmäßig sehr kleinen Dezimalbrüche, die ebenfalls mit der Exponentialschreibweise darstellbar sind. Die Nachkommastellen eines Dezimalbruchs geben bekanntlich die Anzahl der Zehntel, Hundertstel, Tausendstel etc. an. Diese Anteile lassen sich auch mit Hilfe der Zehnerpotenzdarstellung angeben.

100 = 1
10-1 = 0.1
10-2 = 0.01
10-3 = 0.001
10-4 = 0.0001
10-5 = 0.00001
...

Beispiel: 0.0009 =  9 × 0.0001 = 9 × 10-4  = 9.0 E-4

Der Dezimalbruch 0.00243 lässt sich schreiben als 243 × 10-5 = 2.43 E-3

Man zählt also die Nachkommastellen, beginnend beim Dezimalkomma, bis man zur ersten von Null verschiedenen Ziffer gelangt. Die Mantisse erhält man, indem man das Komma hinter diese erste von Null verschiedene Ziffer setzt und den Exponenten, indem man die Gegenzahl zur gezählten Stellenzahl bildet.

Hört sich kompliziert an, ist in der Praxis aber sehr einfach, wie folgende Beispiele zeigen:

Zahl Wissenschaftliche Darstellung
0.007 7.0 E-3
0.0234 2.34 E-2
-0.0305 -3.05 E-2
0.5 5.0 E-1
0.13 1.3 E-1
-0.00005 -5.0 E-5

 

Also, wie viele Eisenatome muss man aneinanderlegen, bis man den Durchmesser eines Virus erhält?

Durchmesser eines Eisenatomes:

0, 000 000 000 2 m

 = 2.0 E-10 m
Durchmesser eines Virus:

0, 000 000 1 m

 = 1.0 E-7 m

Wir dividieren die beiden Durchmesser und erhalten 1.0 E-7  : (2.0 E-10) =  0.5 E(-7-(-10)) = 0.5 E3 = 5.0 E2 = 500

5 Eisenatome ergeben aneinandergelegt eine Streckenlänge von 10.0 E-10 m = 1.0 E-9m, was gerade ein hundertstel des Durchmesser eines Virus ist.

 

Aus wie vielen Kohlenstoffatomen besteht ein Stück Kohle der Masse 1kg (= 1.0 E0 kg)?

1.0 E0 kg : (1,66 E-27 kg) » 0.6 E27 = 6.0 E26 (= 600 000 000 000 000 000 000 000 000 Atome!)

Zur Eingabe dieser Zahlen in den Taschenrechner gibt es die Tasten EE oder EXP. Man gibt zunächst die Mantisse ein, drückt dann die EE oder EXP Taste und kann dann den Exponent eingeben.

Hier kannst du nun die Umwandlung von Zahlen in die Exponentialdarstellung üben: